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特殊函數 (scipy.special)#

幾乎所有以下列出的函數都接受 NumPy 陣列作為輸入參數，以及單個數字。這表示它們遵循廣播和自動陣列迴圈規則。從技術上講，它們是 NumPy 通用函數。不接受 NumPy 陣列的函數會在章節描述中標記警告。

另請參閱

scipy.special.cython_special – 特殊函數的型別化 Cython 版本

錯誤處理#

錯誤透過返回 NaN 或其他適當的值來處理。當發生錯誤時，某些特殊函數例程可能會發出警告或引發例外。預設情況下，這是停用的；要查詢和控制目前的錯誤處理狀態，提供了以下函數。

geterr()

取得目前處理特殊函數錯誤的方式。

seterr(**kwargs)

設定如何處理特殊函數錯誤。

errstate(**kwargs)

特殊函數錯誤處理的上下文管理器。

SpecialFunctionWarning

特殊函數可以發出的警告。

SpecialFunctionError

特殊函數可以引發的例外。

可用函數#

Airy 函數#

airy(z[, out])

Airy 函數及其導數。

airye(z[, out])

指數縮放的 Airy 函數及其導數。

ai_zeros(nt)

計算 Airy 函數 Ai 及其導數的 nt 個零點和值。

bi_zeros(nt)

計算 Airy 函數 Bi 及其導數的 nt 個零點和值。

itairy(x[, out])

Airy 函數的積分

橢圓函數和積分#

ellipj(u, m[, out])

雅可比橢圓函數

ellipk(m[, out])

第一類完全橢圓積分。

ellipkm1(p[, out])

在 m = 1 附近的第一類完全橢圓積分

ellipkinc(phi, m[, out])

第一類不完全橢圓積分

ellipe(m[, out])

第二類完全橢圓積分

ellipeinc(phi, m[, out])

第二類不完全橢圓積分

elliprc(x, y[, out])

退化的對稱橢圓積分。

elliprd(x, y, z[, out])

第二類對稱橢圓積分。

elliprf(x, y, z[, out])

第一類完全對稱橢圓積分。

elliprg(x, y, z[, out])

第二類完全對稱橢圓積分。

elliprj(x, y, z, p[, out])

第三類對稱橢圓積分。

貝索函數#

jv(v, z[, out])

第一類貝索函數，具有實數階數和複數引數。

jve(v, z[, out])

指數縮放的第一類貝索函數，階數為 v。

yn(n, x[, out])

第二類貝索函數，具有整數階數和實數引數。

yv(v, z[, out])

第二類貝索函數，具有實數階數和複數引數。

yve(v, z[, out])

指數縮放的第二類貝索函數，具有實數階數。

kn(n, x[, out])

第二類修正貝索函數，具有整數階數 n

kv(v, z[, out])

第二類修正貝索函數，具有實數階數 v

kve(v, z[, out])

指數縮放的第二類修正貝索函數。

iv(v, z[, out])

第一類修正貝索函數，具有實數階數。

ive(v, z[, out])

指數縮放的第一類修正貝索函數。

hankel1(v, z[, out])

第一類漢克爾函數

hankel1e(v, z[, out])

指數縮放的第一類漢克爾函數

hankel2(v, z[, out])

第二類漢克爾函數

hankel2e(v, z[, out])

指數縮放的第二類漢克爾函數

wright_bessel(a, b, x[, out])

Wright 廣義貝索函數。

log_wright_bessel(a, b, x[, out])

Wright 廣義貝索函數的自然對數，請參閱 wright_bessel。

以下函數不接受 NumPy 陣列（它不是通用函數）

lmbda(v, x)

Jahnke-Emden Lambda 函數，Lambdav(x)。

貝索函數的零點#

以下函數不接受 NumPy 陣列（它們不是通用函數）

jnjnp_zeros(nt)

計算整數階貝索函數 Jn 和 Jn' 的零點。

jnyn_zeros(n, nt)

計算貝索函數 Jn(x)、Jn'(x)、Yn(x) 和 Yn'(x) 的 nt 個零點。

jn_zeros(n, nt)

計算整數階貝索函數 Jn 的零點。

jnp_zeros(n, nt)

計算整數階貝索函數導數 Jn' 的零點。

yn_zeros(n, nt)

計算整數階貝索函數 Yn(x) 的零點。

ynp_zeros(n, nt)

計算整數階貝索函數導數 Yn'(x) 的零點。

y0_zeros(nt[, complex])

計算貝索函數 Y0(z) 的 nt 個零點，以及每個零點的導數。

y1_zeros(nt[, complex])

計算貝索函數 Y1(z) 的 nt 個零點，以及每個零點的導數。

y1p_zeros(nt[, complex])

計算貝索導數 Y1'(z) 的 nt 個零點，以及每個零點的值。

常用貝索函數的更快版本#

j0(x[, out])

第一類貝索函數，階數為 0。

j1(x[, out])

第一類貝索函數，階數為 1。

y0(x[, out])

第二類貝索函數，階數為 0。

y1(x[, out])

第二類貝索函數，階數為 1。

i0(x[, out])

修正貝索函數，階數為 0。

i0e(x[, out])

指數縮放的修正貝索函數，階數為 0。

i1(x[, out])

修正貝索函數，階數為 1。

i1e(x[, out])

指數縮放的修正貝索函數，階數為 1。

k0(x[, out])

第二類修正貝索函數，階數為 0，\(K_0\)。

k0e(x[, out])

指數縮放的修正貝索函數 K，階數為 0

k1(x[, out])

第二類修正貝索函數，階數為 1，\(K_1(x)\)。

k1e(x[, out])

指數縮放的修正貝索函數 K，階數為 1

貝索函數的積分#

itj0y0(x[, out])

第一類貝索函數的積分，階數為 0。

it2j0y0(x[, out])

與第一類貝索函數相關的積分，階數為 0。

iti0k0(x[, out])

修正貝索函數的積分，階數為 0。

it2i0k0(x[, out])

與修正貝索函數相關的積分，階數為 0。

besselpoly(a, lmb, nu[, out])

第一類貝索函數的加權積分。

貝索函數的導數#

jvp(v, z[, n])

計算第一類貝索函數的導數。

yvp(v, z[, n])

計算第二類貝索函數的導數。

kvp(v, z[, n])

計算實數階修正貝索函數 Kv(z) 的導數

ivp(v, z[, n])

計算第一類修正貝索函數的導數。

h1vp(v, z[, n])

計算漢克爾函數 H1v(z) 對於 z 的導數。

h2vp(v, z[, n])

計算漢克爾函數 H2v(z) 對於 z 的導數。

球貝索函數#

spherical_jn(n, z[, derivative])

第一類球貝索函數或其導數。

spherical_yn(n, z[, derivative])

第二類球貝索函數或其導數。

spherical_in(n, z[, derivative])

第一類修正球貝索函數或其導數。

spherical_kn(n, z[, derivative])

第二類修正球貝索函數或其導數。

里卡蒂-貝索函數#

以下函數不接受 NumPy 陣列（它們不是通用函數）

riccati_jn(n, x)

計算第一類里卡蒂-貝索函數及其導數。

riccati_yn(n, x)

計算第二類里卡蒂-貝索函數及其導數。

Struve 函數#

struve(v, x[, out])

Struve 函數。

modstruve(v, x[, out])

修正 Struve 函數。

itstruve0(x[, out])

Struve 函數的積分，階數為 0。

it2struve0(x[, out])

與 Struve 函數相關的積分，階數為 0。

itmodstruve0(x[, out])

修正 Struve 函數的積分，階數為 0。

原始統計函數#

另請參閱

scipy.stats：這些函數的友善版本。

二項分布#

bdtr(k, n, p[, out])

二項分布累積分布函數。

bdtrc(k, n, p[, out])

二項分布生存函數。

bdtri(k, n, y[, out])

關於 p 的 bdtr 反函數。

bdtrik(y, n, p[, out])

關於 k 的 bdtr 反函數。

bdtrin(k, y, p[, out])

關於 n 的 bdtr 反函數。

Beta 分布#

btdtria(p, b, x[, out])

關於 a 的 betainc 反函數。

btdtrib(a, p, x[, out])

關於 b 的 betainc 反函數。

F 分布#

fdtr(dfn, dfd, x[, out])

F 累積分布函數。

fdtrc(dfn, dfd, x[, out])

F 生存函數。

fdtri(dfn, dfd, p[, out])

F 分布的第 p 個分位數。

fdtridfd(dfn, p, x[, out])

相對於 dfd 的 fdtr 反函數

Gamma 分布#

gdtr(a, b, x[, out])

Gamma 分布累積分布函數。

gdtrc(a, b, x[, out])

Gamma 分布生存函數。

gdtria(p, b, x[, out])

相對於 a 的 gdtr 反函數。

gdtrib(a, p, x[, out])

相對於 b 的 gdtr 反函數。

gdtrix(a, b, p[, out])

相對於 x 的 gdtr 反函數。

負二項分布#

nbdtr(k, n, p[, out])

負二項分布累積分布函數。

nbdtrc(k, n, p[, out])

負二項分布生存函數。

nbdtri(k, n, y[, out])

返回關於參數 p 的反函數，其中 y = nbdtr(k, n, p)，即負二項分布累積分布函數。

nbdtrik(y, n, p[, out])

負二項分布百分位函數。

nbdtrin(k, y, p[, out])

相對於 n 的 nbdtr 反函數。

非中心 F 分佈#

ncfdtr(dfn, dfd, nc, f[, out])

非中心 F 分佈的累積分布函數。

ncfdtridfd(dfn, p, nc, f[, out])

計算非中心 F 分佈的自由度（分母）。

ncfdtridfn(p, dfd, nc, f[, out])

計算非中心 F 分佈的自由度（分子）。

ncfdtri(dfn, dfd, nc, p[, out])

非中心 F 分佈 CDF 對 f 的反函數。

ncfdtrinc(dfn, dfd, p, f[, out])

計算非中心 F 分佈的非中心性參數。

非中心 t 分佈#

nctdtr(df, nc, t[, out])

非中心 t 分佈的累積分布函數。

nctdtridf(p, nc, t[, out])

計算非中心 t 分佈的自由度。

nctdtrit(df, nc, p[, out])

非中心 t 分佈的累積分布函數反函數。

nctdtrinc(df, p, t[, out])

計算非中心 t 分佈的非中心性參數。

常態分佈#

nrdtrimn(p, std, x[, out])

在給定其他參數的情況下，計算常態分佈的平均值。

nrdtrisd(mn, p, x[, out])

在給定其他參數的情況下，計算常態分佈的標準差。

ndtr(x[, out])

標準常態分佈的累積分布。

log_ndtr(x[, out])

高斯累積分布函數的對數。

ndtri(y[, out])

ndtr 對 x 的反函數

ndtri_exp(y[, out])

log_ndtr 對 x 的反函數。

Poisson 分佈#

pdtr(k, m[, out])

Poisson 累積分布函數。

pdtrc(k, m[, out])

Poisson 生存函數

pdtri(k, y[, out])

pdtr 對 m 的反函數

pdtrik(p, m[, out])

pdtr 對 k 的反函數。

學生 t 分佈#

stdtr(df, t[, out])

學生 t 分佈累積分布函數

stdtridf(p, t[, out])

stdtr 對 df 的反函數

stdtrit(df, p[, out])

學生 t 分佈的第 p 個分位數。

卡方分佈#

chdtr(v, x[, out])

卡方累積分布函數。

chdtrc(v, x[, out])

卡方生存函數。

chdtri(v, p[, out])

chdtrc 對 x 的反函數。

chdtriv(p, x[, out])

chdtr 對 v 的反函數。

非中心卡方分佈#

chndtr(x, df, nc[, out])

非中心卡方累積分布函數

chndtridf(x, p, nc[, out])

chndtr 對 df 的反函數

chndtrinc(x, df, p[, out])

chndtr 對 nc 的反函數

chndtrix(p, df, nc[, out])

chndtr 對 x 的反函數

柯爾莫哥洛夫分佈#

smirnov(n, d[, out])

柯爾莫哥洛夫-史米諾夫互補累積分布函數

smirnovi(n, p[, out])

smirnov 的反函數

kolmogorov(y[, out])

柯爾莫哥洛夫分佈的互補累積分布（生存函數）函數。

kolmogi(p[, out])

柯爾莫哥洛夫分佈的生存函數反函數

Box-Cox 轉換#

boxcox(x, lmbda[, out])

計算 Box-Cox 轉換。

boxcox1p(x, lmbda[, out])

計算 1 + x 的 Box-Cox 轉換。

inv_boxcox(y, lmbda[, out])

計算 Box-Cox 轉換的反函數。

inv_boxcox1p(y, lmbda[, out])

計算 Box-Cox 轉換的反函數。

S 型函數#

logit(x[, out])

ndarray 的 Logit ufunc。

expit(x[, out])

Expit (又名

log_expit(x[, out])

Logistic S 型函數的對數。

其他#

tklmbda(x, lmbda[, out])

Tukey lambda 分佈的累積分布函數。

owens_t(h, a[, out])

Owen's T 函數。

資訊理論函數#

entr(x[, out])

用於計算熵的逐元素函數。

rel_entr(x, y[, out])

用於計算相對熵的逐元素函數。

kl_div(x, y[, out])

用於計算 Kullback-Leibler 散度的逐元素函數。

huber(delta, r[, out])

Huber 損失函數。

pseudo_huber(delta, r[, out])

Pseudo-Huber 損失函數。

誤差函數和 Fresnel 積分#

erf(z[, out])

返回複數變數的誤差函數。

erfc(x[, out])

互補誤差函數，1 - erf(x)。

erfcx(x[, out])

縮放互補誤差函數，exp(x**2) * erfc(x)。

erfi(z[, out])

虛數誤差函數，-i erf(i z)。

erfinv(y[, out])

誤差函數的反函數。

erfcinv(y[, out])

互補誤差函數的反函數。

wofz(z[, out])

Faddeeva 函數

dawsn(x[, out])

Dawson 積分。

fresnel(z[, out])

Fresnel 積分。

fresnel_zeros(nt)

計算正弦和餘弦 Fresnel 積分 S(z) 和 C(z) 的 nt 個複數零點。

modfresnelp(x[, out])

修正 Fresnel 正積分

modfresnelm(x[, out])

修正 Fresnel 負積分

voigt_profile(x, sigma, gamma[, out])

Voigt 輪廓。

以下函數不接受 NumPy 陣列（它們不是通用函數）

erf_zeros(nt)

計算第一象限中的前 nt 個零點，按絕對值排序。

fresnelc_zeros(nt)

計算餘弦 Fresnel 積分 C(z) 的 nt 個複數零點。

fresnels_zeros(nt)

計算正弦 Fresnel 積分 S(z) 的 nt 個複數零點。

Legendre 函數#

legendre_p(n, z, *[, diff_n])

第一類 Legendre 多項式。

legendre_p_all(n, z, *[, diff_n])

所有次數高達指定次數 n 的第一類 Legendre 多項式。

assoc_legendre_p(n, m, z, *[, branch_cut, ...])

第一類關聯 Legendre 多項式。

assoc_legendre_p_all(n, m, z, *[, ...])

所有次數高達指定次數 n 和階數 m 的第一類關聯 Legendre 多項式。

sph_legendre_p(n, m, theta, *[, diff_n])

第一類球 Legendre 多項式。

sph_legendre_p_all(n, m, theta, *[, diff_n])

所有次數高達指定次數 n 和階數 m 的第一類球 Legendre 多項式。

sph_harm_y(n, m, theta, phi, *[, diff_n])

球諧函數。

sph_harm_y_all(n, m, theta, phi, *[, diff_n])

所有次數高達指定次數 n 和階數 m 的球諧函數。

以下函數正處於棄用過程中，取而代之的是上述函數，它們提供更靈活和一致的介面。

lpmv(m, v, x[, out])

整數階和實數次數的關聯 Legendre 函數。

sph_harm(m, n, theta, phi[, out])

計算球諧函數。

clpmn(m, n, z[, type])

用於複數變數的第一類關聯 Legendre 函數。

lpn(n, z)

第一類 Legendre 函數。

lqn(n, z)

第二類 Legendre 函數。

lpmn(m, n, z)

第一類關聯 Legendre 函數序列。

lqmn(m, n, z)

第二類關聯 Legendre 函數序列。

橢球諧函數#

ellip_harm(h2, k2, n, p, s[, signm, signn])

橢球諧函數 E^p_n(l)

ellip_harm_2(h2, k2, n, p, s)

橢球諧函數 F^p_n(l)

ellip_normal(h2, k2, n, p)

橢球諧函數正規化常數 gamma^p_n

正交多項式#

以下函數評估正交多項式的值

assoc_laguerre(x, n[, k])

計算次數為 n 和階數為 k 的廣義（關聯）Laguerre 多項式。

eval_legendre(n, x[, out])

在某點評估 Legendre 多項式。

eval_chebyt(n, x[, out])

在某點評估第一類 Chebyshev 多項式。

eval_chebyu(n, x[, out])

在某點評估第二類 Chebyshev 多項式。

eval_chebyc(n, x[, out])

在某點評估 [-2, 2] 上的第一類 Chebyshev 多項式。

eval_chebys(n, x[, out])

在某點評估 [-2, 2] 上的第二類 Chebyshev 多項式。

eval_jacobi(n, alpha, beta, x[, out])

在某點評估 Jacobi 多項式。

eval_laguerre(n, x[, out])

在某點評估 Laguerre 多項式。

eval_genlaguerre(n, alpha, x[, out])

在某點評估廣義 Laguerre 多項式。

eval_hermite(n, x[, out])

在某點評估物理學家的 Hermite 多項式。

eval_hermitenorm(n, x[, out])

在某點評估機率學家的（正規化）Hermite 多項式。

eval_gegenbauer(n, alpha, x[, out])

在某點評估 Gegenbauer 多項式。

eval_sh_legendre(n, x[, out])

在某點評估移位 Legendre 多項式。

eval_sh_chebyt(n, x[, out])

在某點評估第一類移位 Chebyshev 多項式。

eval_sh_chebyu(n, x[, out])

在某點評估第二類移位 Chebyshev 多項式。

eval_sh_jacobi(n, p, q, x[, out])

在某點評估移位 Jacobi 多項式。

以下函數計算正交多項式的根和正交權重

roots_legendre(n[, mu])

Gauss-Legendre 正交。

roots_chebyt(n[, mu])

Gauss-Chebyshev（第一類）正交。

roots_chebyu(n[, mu])

Gauss-Chebyshev（第二類）正交。

roots_chebyc(n[, mu])

Gauss-Chebyshev（第一類）正交。

roots_chebys(n[, mu])

Gauss-Chebyshev（第二類）正交。

roots_jacobi(n, alpha, beta[, mu])

Gauss-Jacobi 正交。

roots_laguerre(n[, mu])

Gauss-Laguerre 正交。

roots_genlaguerre(n, alpha[, mu])

Gauss-廣義 Laguerre 正交。

roots_hermite(n[, mu])

高斯-埃爾米特（物理學家）正交。

roots_hermitenorm(n[, mu])

高斯-埃爾米特（統計學家）正交。

roots_gegenbauer(n, alpha[, mu])

高斯-蓋根鮑爾正交。

roots_sh_legendre(n[, mu])

高斯-勒壤得（平移）正交。

roots_sh_chebyt(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第一類，平移）正交。

roots_sh_chebyu(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第二類，平移）正交。

roots_sh_jacobi(n, p1, q1[, mu])

高斯-雅可比（平移）正交。

以下函數依序回傳 orthopoly1d 物件中的多項式係數，其功能與 numpy.poly1d 類似。orthopoly1d 類別也有一個屬性 weights，它會回傳高斯正交的適當形式的根、權重和總權重。這些會以 n x 3 陣列回傳，根在第一列，權重在第二列，總權重在最後一列。請注意，當進行算術運算時，orthopoly1d 物件會轉換為 poly1d，並遺失原始正交多項式的資訊。

legendre(n[, monic])

勒壤得多項式。

chebyt(n[, monic])

第一類切比雪夫多項式。

chebyu(n[, monic])

第二類切比雪夫多項式。

chebyc(n[, monic])

定義在 \([-2, 2]\) 上的第一類切比雪夫多項式。

chebys(n[, monic])

定義在 \([-2, 2]\) 上的第二類切比雪夫多項式。

jacobi(n, alpha, beta[, monic])

雅可比多項式。

laguerre(n[, monic])

拉蓋爾多項式。

genlaguerre(n, alpha[, monic])

廣義 (關聯) 拉蓋爾多項式。

hermite(n[, monic])

物理學家 Hermite 多項式。

hermitenorm(n[, monic])

正規化 (機率學家) Hermite 多項式。

gegenbauer(n, alpha[, monic])

蓋根鮑爾 (超球) 多項式。

sh_legendre(n[, monic])

平移勒壤得多項式。

sh_chebyt(n[, monic])

平移第一類切比雪夫多項式。

sh_chebyu(n[, monic])

平移第二類切比雪夫多項式。

sh_jacobi(n, p, q[, monic])

平移雅可比多項式。

警告

使用多項式係數計算高階多項式（約 order > 20）的值在數值上是不穩定的。若要評估多項式的值，應改用 eval_* 函數。

超幾何函數#

hyp2f1(a, b, c, z[, out])

高斯超幾何函數 2F1(a, b; c; z)

hyp1f1(a, b, x[, out])

合流超幾何函數 1F1。

hyperu(a, b, x[, out])

合流超幾何函數 U

hyp0f1(v, z[, out])

合流超幾何極限函數 0F1。

拋物柱面函數#

pbdv(v, x[, out])

拋物柱面函數 D

pbvv(v, x[, out])

拋物柱面函數 V

pbwa(a, x[, out])

拋物柱面函數 W。

以下函數不接受 NumPy 陣列（它們不是通用函數）

pbdv_seq(v, x)

拋物柱面函數 Dv(x) 及其導數。

pbvv_seq(v, x)

拋物柱面函數 Vv(x) 及其導數。

pbdn_seq(n, z)

拋物柱面函數 Dn(z) 及其導數。

球狀波函數#

pro_ang1(m, n, c, x[, out])

第一類長球狀角函數及其導數

pro_rad1(m, n, c, x[, out])

第一類長球狀徑向函數及其導數

pro_rad2(m, n, c, x[, out])

第二類長球狀徑向函數及其導數

obl_ang1(m, n, c, x[, out])

第一類扁球狀角函數及其導數

obl_rad1(m, n, c, x[, out])

第一類扁球狀徑向函數及其導數

obl_rad2(m, n, c, x[, out])

第二類扁球狀徑向函數及其導數。

pro_cv(m, n, c[, out])

長球狀函數的特徵值

obl_cv(m, n, c[, out])

扁球狀函數的特徵值

pro_cv_seq(m, n, c)

長球狀波函數的特徵值。

obl_cv_seq(m, n, c)

扁球狀波函數的特徵值。

以下函數需要預先計算的特徵值

pro_ang1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的長球狀角函數 pro_ang1

pro_rad1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的長球狀徑向函數 pro_rad1

pro_rad2_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的長球狀徑向函數 pro_rad2

obl_ang1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的扁球狀角函數 obl_ang1

obl_rad1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的扁球狀徑向函數 obl_rad1

obl_rad2_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用於預先計算特徵值的扁球狀徑向函數 obl_rad2

克爾文函數#

kelvin(x[, out])

以複數表示的克爾文函數

kelvin_zeros(nt)

計算所有克爾文函數的 nt 個零點。

ber(x[, out])

克爾文函數 ber。

bei(x[, out])

克爾文函數 bei。

berp(x[, out])

克爾文函數 ber 的導數。

beip(x[, out])

克爾文函數 bei 的導數。

ker(x[, out])

克爾文函數 ker。

kei(x[, out])

克爾文函數 kei。

kerp(x[, out])

克爾文函數 ker 的導數。

keip(x[, out])

克爾文函數 kei 的導數。

以下函數不接受 NumPy 陣列（它們不是通用函數）

ber_zeros(nt)

計算克爾文函數 ber 的 nt 個零點。

bei_zeros(nt)

計算克爾文函數 bei 的 nt 個零點。

berp_zeros(nt)

計算克爾文函數 ber 的導數的 nt 個零點。

beip_zeros(nt)

計算克爾文函數 bei 的導數的 nt 個零點。

ker_zeros(nt)

計算克爾文函數 ker 的 nt 個零點。

kei_zeros(nt)

計算克爾文函數 kei 的 nt 個零點。

kerp_zeros(nt)

計算克爾文函數 ker 的導數的 nt 個零點。

keip_zeros(nt)

計算克爾文函數 kei 的導數的 nt 個零點。

組合數學#

comb(N, k, *[, exact, repetition])

從 N 個事物中取出 k 個的組合數。

perm(N, k[, exact])

從 N 個事物中取出 k 個的排列數，即 N 的 k-排列。

stirling2(N, K, *[, exact])

產生第二類斯特林數。

其他特殊函數#

agm(a, b[, out])

計算 a 和 b 的算術幾何平均數。

bernoulli(n)

白努利數 B0..Bn (包含)。

binom(x, y[, out])

二項式係數，視為兩個實變數的函數。

diric(x, n)

週期性 sinc 函數，也稱為狄利克雷函數。

euler(n)

歐拉數 E(0), E(1), ..., E(n)。

expn(n, x[, out])

廣義指數積分 En。

exp1(z[, out])

指數積分 E1。

expi(x[, out])

指數積分 Ei。

factorial(n[, exact, extend])

一個數字或數字陣列的階乘。

factorial2(n[, exact, extend])

雙階乘。

factorialk(n, k[, exact, extend])

階數為 k 的 n 重階乘，n(!!...!)。

shichi(x[, out])

雙曲正弦和餘弦積分。

sici(x[, out])

正弦和餘弦積分。

softmax(x[, axis])

計算 softmax 函數。

log_softmax(x[, axis])

計算 softmax 函數的對數。

spence(z[, out])

Spence 函數，也稱為雙對數函數。

zeta(x[, q, out])

黎曼或赫維茲 zeta 函數。

zetac(x[, out])

黎曼 zeta 函數減 1。

softplus(x, **kwargs)

逐元素計算 softplus 函數。

便利函數#

cbrt(x[, out])

x 的逐元素立方根。

exp10(x[, out])

逐元素計算 10**x。

exp2(x[, out])

逐元素計算 2**x。

radian(d, m, s[, out])

從度轉換為弧度。

cosdg(x[, out])

以度為單位的角度 x 的餘弦。

sindg(x[, out])

以度為單位的角度 x 的正弦。

tandg(x[, out])

以度為單位的角度 x 的正切。

cotdg(x[, out])

以度為單位的角度 x 的餘切。

log1p(x[, out])

計算 log(1 + x)，用於 x 接近零時。

expm1(x[, out])

計算 exp(x) - 1。

cosm1(x[, out])

cos(x) - 1，用於 x 接近零時。

powm1(x, y[, out])

計算 x**y - 1。

round(x[, out])

四捨五入到最接近的整數。

xlogy(x, y[, out])

計算 x*log(y)，使當 x = 0 時結果為 0。

xlog1py(x, y[, out])

計算 x*log1p(y)，使當 x = 0 時結果為 0。

logsumexp(a[, axis, b, keepdims, return_sign])

計算輸入元素的指數和的對數。

exprel(x[, out])

相對誤差指數，(exp(x) - 1)/x。

sinc(x)

回傳正規化的 sinc 函數。
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