scipy.special.

genlaguerre

scipy.special.genlaguerre(n, alpha, monic=False)

廣義（結合）拉蓋爾多項式。

定義為以下方程式的解

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]

where \(\alpha > -1\); \(L_n^{(\alpha)}\) is a polynomial of degree \(n\).

參數:

n整數

多項式的次數。

alpha浮點數

參數，必須大於 -1。

monic布林值，選用

若為 True，則將前導係數縮放為 1。預設值為 False。

回傳值:

Lorthopoly1d

廣義拉蓋爾多項式。

另請參閱

laguerre

拉蓋爾多項式。

hyp1f1

合流超幾何函數

註解

對於固定的 \(\alpha\)，多項式 \(L_n^{(\alpha)}\) 在 \([0, \infty)\) 區間內，以權重函數 \(e^{-x}x^\alpha\) 正交。

拉蓋爾多項式是 \(\alpha = 0\) 的特例。

參考文獻

[AS]

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

範例

在瀏覽器中試試看！

廣義拉蓋爾多項式與合流超幾何函數 \({}_1F_1\) 密切相關

\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]

例如，對於區間 \([-1, 1]\) 上的 \(n = \alpha = 3\)，可以驗證這一點

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import hyp1f1
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x))
True

這是廣義拉蓋爾多項式 \(L_3^{(\alpha)}\) 對於某些 \(\alpha\) 值的繪圖

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0)
>>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

返回在新分頁中開啟