scipy.special.yv#

scipy.special.yv(v, z, out=None) = <ufunc 'yv'>#

第二類貝索函數，適用於實數階數和複數引數。

參數:

varray_like: 階數 (float)。
zarray_like: 引數 (float 或 complex)。
outndarray，選用: 函數結果的選用輸出陣列

傳回:

Y純量或 ndarray: 第二類貝索函數的值，\(Y_v(x)\)。

另請參閱

yve: 剝離前導指數行為的 \(Y_v\)。
y0: 此函數對於階數 0 的更快實作
y1: 此函數對於階數 1 的更快實作

註解

對於正值 v，計算使用 AMOS [1] zbesy 常式進行，其利用與漢克爾貝索函數 \(H_v^{(1)}\) 和 \(H_v^{(2)}\) 的關聯性，

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

對於負值 v，使用公式，

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(J_v(z)\) 是第一類貝索函數，使用 AMOS 常式 zbesj 計算。請注意，對於整數 v，第二項正好為零；為了提高準確性，對於 v 值（例如 v = floor(v)），會明確省略第二項。

參考文獻

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”, http://netlib.org/amos/

範例

在一個點評估階數 0 的函數。

>>> from scipy.special import yv
>>> yv(0, 1.)
0.088256964215677

在一個點評估不同階數的函數。

>>> yv(0, 1.), yv(1, 1.), yv(1.5, 1.)
(0.088256964215677, -0.7812128213002889, -1.102495575160179)

可以透過為 v 參數提供列表或 NumPy 陣列作為引數，在一次呼叫中執行不同階數的評估

>>> yv([0, 1, 1.5], 1.)
array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.10249558])

透過為 z 提供陣列，評估階數 0 在多個點的函數。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
>>> yv(0, points)
array([-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149])

如果 z 是陣列，則如果要在一次呼叫中計算不同階數，則階數參數 v 必須可廣播到正確的形狀。若要計算 1D 陣列的階數 0 和 1

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> yv(orders, points)
array([[-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149],
       [-1.47147239,  0.32467442, -0.15806046]])

繪製階數 0 到 3 從 0 到 10 的函數。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, yv(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
>>> ax.set_ylim(-3, 1)
>>> ax.legend()
>>> plt.show()