scipy.special.spence

scipy.special.spence(z, out=None) = <ufunc 'spence'>

Spence 函數，亦稱為雙對數函數。

其定義為

\[\int_1^z \frac{\log(t)}{1 - t}dt\]

對於複數 \(z\)，其中積分輪廓取為避開對數函數的分支切割線。Spence 函數在除了負實軸以外的所有地方都是解析的，在負實軸上它有一個分支切割線。

參數:

zarray_like

要評估 Spence 函數的點

outndarray，選用

函數結果的可選輸出陣列

返回:

s純量或 ndarray

Spence 函數的計算值

註解

有一個不同的慣例將 Spence 函數定義為積分

\[-\int_0^z \frac{\log(1 - t)}{t}dt;\]

這是我們的 spence(1 - z)。

範例

在你的瀏覽器中試試看！

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import spence
>>> import matplotlib.pyplot as plt

此函數為複數輸入定義

>>> spence([1-1j, 1.5+2j, 3j, -10-5j])
array([-0.20561676+0.91596559j, -0.86766909-1.39560134j,
       -0.59422064-2.49129918j, -1.14044398+6.80075924j])

對於分支切割線上的複數輸入，即負實軸，該函數返回 z 具有正虛部的極限值。例如，在以下範例中，請注意 z = -2 和 z = -2 - 1e-8j 的輸出虛部符號變化

>>> spence([-2 + 1e-8j, -2, -2 - 1e-8j])
array([2.32018041-3.45139229j, 2.32018042-3.4513923j ,
       2.32018041+3.45139229j])

對於分支切割線上的實數輸入，該函數返回 nan

>>> spence(-1.5)
nan

驗證一些特定值：spence(0) = pi**2/6、spence(1) = 0 和 spence(2) = -pi**2/12。

>>> spence([0, 1, 2])
array([ 1.64493407,  0.        , -0.82246703])
>>> np.pi**2/6, -np.pi**2/12
(1.6449340668482264, -0.8224670334241132)

驗證恆等式

spence(z) + spence(1 - z) = pi**2/6 - log(z)*log(1 - z)

>>> z = 3 + 4j
>>> spence(z) + spence(1 - z)
(-2.6523186143876067+1.8853470951513935j)
>>> np.pi**2/6 - np.log(z)*np.log(1 - z)
(-2.652318614387606+1.885347095151394j)

繪製正實數輸入的函數圖。

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0, 6, 400)
>>> ax.plot(x, spence(x))
>>> ax.grid()
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_title('spence(x)')
>>> plt.show()

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