scipy.special.

jacobi

scipy.special.jacobi(n, alpha, beta, monic=False)

雅可比多項式。

定義為以下方程式的解

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha, \beta)} + (\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x) \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha, \beta)} + n(n + \alpha + \beta + 1)P_n^{(\alpha, \beta)} = 0\]

對於 \(\alpha, \beta > -1\)；\(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 是 \(n\) 次多項式。

參數:

nint

多項式的次數。

alphafloat

參數，必須大於 -1。

betafloat

參數，必須大於 -1。

monicbool, optional

如果 True，則將前導係數縮放為 1。預設值為 False。

回傳值:

Porthopoly1d

雅可比多項式。

註解

對於固定的 \(\alpha, \beta\)，多項式 \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 在區間 \([-1, 1]\) 上，以權重函數 \((1 - x)^\alpha(1 + x)^\beta\) 正交。

參考文獻

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun，編輯。《數學函數手冊，包含公式、圖表和數學表格》。紐約：Dover，1972 年。

範例

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雅可比多項式滿足以下遞迴關係

\[P_n^{(\alpha, \beta-1)}(x) - P_n^{(\alpha-1, \beta)}(x) = P_{n-1}^{(\alpha, \beta)}(x)\]

例如，對於區間 \([-1, 1]\) 上的 \(\alpha = \beta = 2\) 和 \(n = 1\)，可以驗證此關係

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(0, 2, 2)(x),
...             jacobi(1, 2, 1)(x) - jacobi(1, 1, 2)(x))
True

雅可比多項式 \(P_5^{(\alpha, -0.5)}\) 對於不同 \(\alpha\) 值的繪圖

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Jacobi polynomials $P_5^{(\alpha, -0.5)}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 4, 1):
...     ax.plot(x, jacobi(5, alpha, -0.5)(x), label=rf'$\alpha={alpha}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

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