scipy.special.nbdtr#

scipy.special.nbdtr(k, n, p, out=None) = <ufunc 'nbdtr'>#

負二項累積分布函數。

傳回負二項分布機率質量函數中，從 0 到 k 的項之總和，

\[F = \sum_{j=0}^k {{n + j - 1}\choose{j}} p^n (1 - p)^j.\]

在一連串伯努利試驗中，每次試驗的成功機率為 p，這是第 n 次成功之前，發生 k 次或更少次失敗的機率。

參數:

karray_like: 允許的最大失敗次數（非負整數）。
narray_like: 目標成功次數（正整數）。
parray_like: 單一事件的成功機率（浮點數）。
outndarray，選用: 函數結果的可選輸出陣列

傳回值:

F純量或 ndarray: 在成功機率為 p 的一連串事件中，n 次成功之前，發生 k 次或更少次失敗的機率。

另請參閱

nbdtrc: 負二項存活函數
nbdtrik: 負二項分位數函數
scipy.stats.nbinom: 負二項分布

註解

如果為 k 或 n 傳遞浮點數值，它們將被截斷為整數。

這些項不是直接加總；而是使用正規化不完全貝塔函數，根據以下公式：

\[\mathrm{nbdtr}(k, n, p) = I_{p}(n, k + 1).\]

Cephes [1] 常式 nbdtr 的包裝器。

負二項分布也可以作為 scipy.stats.nbinom 使用。直接使用 nbdtr 可以比 cdf 方法的 scipy.stats.nbinom 提高效能（請參閱最後一個範例）。

參考文獻

[1]

Cephes 數學函數庫，http://www.netlib.org/cephes/

範例

計算 k=10 和 n=5 在 p=0.5 的函數值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import nbdtr
>>> nbdtr(10, 5, 0.5)
0.940765380859375

透過為 k 提供 NumPy 陣列或列表，計算 n=10 和 p=0.5 在多個點的函數值。

>>> nbdtr([5, 10, 15], 10, 0.5)
array([0.15087891, 0.58809853, 0.88523853])

繪製四組不同參數集的函數圖。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> k = np.arange(130)
>>> n_parameters = [20, 20, 20, 80]
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.8, 0.5]
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters,
...                            linestyles))
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
>>> for parameter_set in parameters_list:
...     p, n, style = parameter_set
...     nbdtr_vals = nbdtr(k, n, p)
...     ax.plot(k, nbdtr_vals, label=rf"$n={n},\, p={p}$",
...             ls=style)
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel("$k$")
>>> ax.set_title("Negative binomial cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-nbdtr-1_00_00.png

負二項分布也可以作為 scipy.stats.nbinom 使用。直接使用 nbdtr 可以比呼叫 cdf 方法的 scipy.stats.nbinom 快得多，特別是對於小型陣列或個別值。為了獲得相同的結果，必須使用以下參數化：nbinom(n, p).cdf(k)=nbdtr(k, n, p)。

>>> from scipy.stats import nbinom
>>> k, n, p = 5, 3, 0.5
>>> nbdtr_res = nbdtr(k, n, p)  # this will often be faster than below
>>> stats_res = nbinom(n, p).cdf(k)
>>> stats_res, nbdtr_res  # test that results are equal
(0.85546875, 0.85546875)

nbdtr 可以透過為 k、n 和 p 提供可廣播相容形狀的陣列來評估不同的參數集。在這裡，我們計算三個不同 k 在四個位置 p 的函數值，產生一個 3x4 陣列。

>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
>>> p = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
>>> k.shape, p.shape
((3, 1), (4,))

>>> nbdtr(k, 5, p)
array([[0.15026833, 0.62304687, 0.95265101, 0.9998531 ],
       [0.48450894, 0.94076538, 0.99932777, 0.99999999],
       [0.76249222, 0.99409103, 0.99999445, 1.        ]])