scipy.special.nbdtrc#

scipy.special.nbdtrc(k, n, p, out=None) = <ufunc 'nbdtrc'>#

負二項分佈存活函數。

返回負二項分佈機率質量函數中，從 k + 1 項到無限項的總和，

\[F = \sum_{j=k + 1}^\infty {{n + j - 1}\choose{j}} p^n (1 - p)^j.\]

在一系列伯努利試驗中，若每次試驗的成功機率為 p，則此為在第 n 次成功之前，發生超過 k 次失敗的機率。

參數:

karray_like: 允許的最大失敗次數（非負整數）。
narray_like: 目標成功次數（正整數）。
parray_like: 單次事件成功的機率（浮點數）。
outndarray, optional: 函數結果的選用性輸出陣列

返回:

Fscalar or ndarray: 在單次事件成功機率為 p 的一系列事件中，於 n 次成功之前，發生 k + 1 次或更多次失敗的機率。

參見

nbdtr: 負二項分佈累積分佈函數
nbdtrik: 負二項分佈百分位函數
scipy.stats.nbinom: 負二項分佈

註解

如果為 k 或 n 傳遞浮點數值，它們將被截斷為整數。

這些項並非直接相加；而是採用正則化不完全貝塔函數，根據以下公式：

\[\mathrm{nbdtrc}(k, n, p) = I_{1 - p}(k + 1, n).\]

Cephes [1] 常式 nbdtrc 的包裝函式。

負二項分佈也可透過 scipy.stats.nbinom 取得。直接使用 nbdtrc 相比於 scipy.stats.nbinom 的 sf 方法，可以提升效能（請參見最後一個範例）。

參考文獻

[1]

Cephes Mathematical Functions Library, http://www.netlib.org/cephes/

範例

計算 k=10 和 n=5 在 p=0.5 時的函數值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import nbdtrc
>>> nbdtrc(10, 5, 0.5)
0.059234619140624986

透過為 k 提供 NumPy 陣列或列表，計算 n=10 和 p=0.5 在多個點的函數值。

>>> nbdtrc([5, 10, 15], 10, 0.5)
array([0.84912109, 0.41190147, 0.11476147])

繪製四組不同參數設定的函數圖。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> k = np.arange(130)
>>> n_parameters = [20, 20, 20, 80]
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.8, 0.5]
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters,
...                            linestyles))
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
>>> for parameter_set in parameters_list:
...     p, n, style = parameter_set
...     nbdtrc_vals = nbdtrc(k, n, p)
...     ax.plot(k, nbdtrc_vals, label=rf"$n={n},\, p={p}$",
...             ls=style)
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel("$k$")
>>> ax.set_title("Negative binomial distribution survival function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-nbdtrc-1_00_00.png

負二項分佈也可透過 scipy.stats.nbinom 取得。直接使用 nbdtrc 可能比呼叫 scipy.stats.nbinom 的 sf 方法快得多，特別是對於小型陣列或個別數值。若要獲得相同的結果，必須使用以下參數化：nbinom(n, p).sf(k)=nbdtrc(k, n, p)。

>>> from scipy.stats import nbinom
>>> k, n, p = 3, 5, 0.5
>>> nbdtr_res = nbdtrc(k, n, p)  # this will often be faster than below
>>> stats_res = nbinom(n, p).sf(k)
>>> stats_res, nbdtr_res  # test that results are equal
(0.6367187499999999, 0.6367187499999999)

nbdtrc 可以透過為 k、n 和 p 提供形狀相容於廣播的陣列，來評估不同的參數設定。在此，我們計算三個不同 k 在四個位置 p 的函數值，結果會得到一個 3x4 的陣列。

>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
>>> p = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
>>> k.shape, p.shape
((3, 1), (4,))

>>> nbdtrc(k, 5, p)
array([[8.49731667e-01, 3.76953125e-01, 4.73489874e-02, 1.46902600e-04],
       [5.15491059e-01, 5.92346191e-02, 6.72234070e-04, 9.29610100e-09],
       [2.37507779e-01, 5.90896606e-03, 5.55025308e-06, 3.26346760e-13]])