scipy.special.

spherical_in#

scipy.special.spherical_in(n, z, derivative=False)[source]#

第一類修正球貝索函數或其導數。

定義為 [1]，

\[i_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} I_{n + 1/2}(z),\]

其中 \(I_n\) 是第一類修正貝索函數。

參數:

nint, 類似陣列: 貝索函數的階數 (n >= 0)。
z複數或浮點數，類似陣列: 貝索函數的自變數。
derivative布林值，選填: 若為 True，則會回傳導數值 (而非函數本身)。

回傳值:

inndarray

註解

此函數使用其與第一類修正柱貝索函數的定義關係計算。

導數使用關係式 [2] 計算，

\[ \begin{align}\begin{aligned}i_n' = i_{n-1} - \frac{n + 1}{z} i_n.\\i_1' = i_0\end{aligned}\end{align} \]

在 0.18.0 版本中新增。

參考文獻

[1]

https://dlmf.nist.gov/10.47.E7

[2]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E5

[AS]

Milton Abramowitz 與 Irene A. Stegun (編輯)。數學函數手冊：包含公式、圖表及數學表格。紐約：Dover，1972。

範例

第一類修正球貝索函數 \(i_n\) 接受實數和複數作為第二個參數。它們可以回傳複數類型

>>> from scipy.special import spherical_in
>>> spherical_in(0, 3+5j)
(-1.1689867793369182-1.2697305267234222j)
>>> type(spherical_in(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我們可以從註解中驗證 \(n=3\) 在區間 \([1, 2]\) 內的導數關係

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_in(3, x, True),
...             spherical_in(2, x) - 4/x * spherical_in(3, x))
True

前幾個帶有實數自變數的 \(i_n\)

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 6.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-0.5, 5.0)
>>> ax.set_title(r'Modified spherical Bessel functions $i_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_in(n, x), label=rf'$i_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-spherical_in-1.png