scipy.special.
spherical_yn#
- scipy.special.spherical_yn(n, z, derivative=False)[source]#
第二類球貝索函數或其導數。
定義為 [1]，
\[y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n + 1/2}(z),\]其中 \(Y_n\) 是第二類貝索函數。
- 參數:
- nint, 類陣列
貝索函數的階數 (n >= 0)。
- z複數或浮點數，類陣列
貝索函數的參數。
- derivativebool, 可選
若為 True，則返回導數的值（而非函數本身）。
- 返回:
- ynndarray
註解
對於實數參數，此函數使用升序遞迴關係 [2] 計算。對於複數參數，則使用與第二類柱貝索函數的定義關係。
導數是使用關係式 [3] 計算：
\[ \begin{align}\begin{aligned}y_n' = y_{n-1} - \frac{n + 1}{z} y_n.\\y_0' = -y_1\end{aligned}\end{align} \]在版本 0.18.0 中新增。
參考文獻
[AS]Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
範例
第二類球貝索函數 \(y_n\) 接受實數和複數第二個參數。它們可以返回複數類型
>>> from scipy.special import spherical_yn >>> spherical_yn(0, 3+5j) (8.022343088587197-9.880052589376795j) >>> type(spherical_yn(0, 3+5j)) <class 'numpy.complex128'>
我們可以驗證 \(n=3\) 在區間 \([1, 2]\) 的註解中導數的關係式
>>> import numpy as np >>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01) >>> np.allclose(spherical_yn(3, x, True), ... spherical_yn(2, x) - 4/x * spherical_yn(3, x)) True
前幾個帶有實數參數的 \(y_n\)
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 1.0) >>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $y_n$') >>> for n in np.arange(0, 4): ... ax.plot(x, spherical_yn(n, x), label=rf'$y_{n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
