scipy.special.jv#

scipy.special.jv(v, z, out=None) = <ufunc 'jv'>#

實階複數變數的第一類貝索函數。

參數:

varray_like: 階數 (浮點數)。
zarray_like: 變數 (浮點數或複數)。
outndarray, optional: 用於儲存函數值的選用輸出陣列

回傳值:

Jscalar or ndarray: 貝索函數值，\(J_v(z)\)。

另請參閱

jve: 移除前導指數行為的 \(J_v\)。
spherical_jn: 球貝索函數。
j0: 此函數 0 階的更快版本。
j1: 此函數 1 階的更快版本。

說明

對於正 v 值，計算是使用 AMOS [1] zbesj 常式進行的，它利用了與修正貝索函數 \(I_v\) 的關聯性，

\[ \begin{align}\begin{aligned}J_v(z) = \exp(v\pi\imath/2) I_v(-\imath z)\qquad (\Im z > 0)\\J_v(z) = \exp(-v\pi\imath/2) I_v(\imath z)\qquad (\Im z < 0)\end{aligned}\end{align} \]

對於負 v 值，公式為，

\[J_{-v}(z) = J_v(z) \cos(\pi v) - Y_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(Y_v(z)\) 是第二類貝索函數，使用 AMOS 常式 zbesy 計算。請注意，對於整數 v，第二項正好為零；為了提高準確性，對於 v 值使得 v = floor(v) 的情況，會明確地省略第二項。

請勿與球貝索函數混淆 (請參閱 spherical_jn)。

參考文獻

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, 複數變數與非負階貝索函數的可攜式套件”, http://netlib.org/amos/

範例

在一個點上計算 0 階函數。

>>> from scipy.special import jv
>>> jv(0, 1.)
0.7651976865579666

在一個點上計算不同階數的函數。

>>> jv(0, 1.), jv(1, 1.), jv(1.5, 1.)
(0.7651976865579666, 0.44005058574493355, 0.24029783912342725)

透過為 v 參數提供列表或 NumPy 陣列作為引數，可以在一次呼叫中執行不同階數的計算

>>> jv([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.76519769, 0.44005059, 0.24029784])

藉由為 z 提供陣列，計算 0 階函數在多個點上的值。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> jv(0, points)
array([ 0.22389078,  1.        , -0.26005195])

如果 z 是陣列，則如果要在一次呼叫中計算不同的階數，階數參數 v 必須可廣播到正確的形狀。若要計算 1D 陣列的 0 階和 1 階

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> jv(orders, points)
array([[ 0.22389078,  1.        , -0.26005195],
       [-0.57672481,  0.        ,  0.33905896]])

繪製 0 到 3 階函數從 -10 到 10 的圖。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-10., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, jv(i, x), label=f'$J_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()