scipy.special.hyp2f1#

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z, out=None) = <ufunc 'hyp2f1'>#

高斯超幾何函數 2F1(a, b; c; z)

參數:

a, b, carray_like: 引數，應為實數值。
zarray_like: 引數，實數或複數。
outndarray, optional: 函數值的選用性輸出陣列

返回:

hyp2f1純量或 ndarray: 高斯超幾何函數的值。

參見

hyp0f1: 合流超幾何極限函數。
hyp1f1: 庫默爾（合流超幾何）函數。

註解

此函數定義為 \(|z| < 1\) 如下

\[\mathrm{hyp2f1}(a, b, c, z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!},\]

並透過解析延拓定義於複數 z 平面的其餘部分 [1]。此處 \((\cdot)_n\) 是波赫哈默符號；請參閱 poch。當 \(n\) 為整數時，結果為 \(n\) 次多項式。

對於複數值 z 的實作描述於 [2] 中，除了 z 在以下定義的區域中

\[0.9 <= \left|z\right| < 1.1, \left|1 - z\right| >= 0.9, \mathrm{real}(z) >= 0\]

其中實作遵循 [4]。

參考文獻

[1]

NIST 數位數學函數庫 https://dlmf.nist.gov/15.2

[2]

Zhang and J.M. Jin，“特殊函數計算”，Wiley 1996

[3]

Cephes 數學函數庫，http://www.netlib.org/cephes/

[4]

J.L. Lopez and N.M. Temme，“高斯超幾何函數的新級數展開”，Adv Comput Math 39, 349-365 (2013)。 https://doi.org/10.1007/s10444-012-9283-y

範例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

當 c 為負整數時，它有極點。

>>> sc.hyp2f1(1, 1, -2, 1)
inf

當 a 或 b 為負整數時，它是一個多項式。

>>> a, b, c = -1, 1, 1.5
>>> z = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, c, z)
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])
>>> 1 + a * b * z / c
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])

它在 a 和 b 中是對稱的。

>>> a = np.linspace(0, 1, 5)
>>> b = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])
>>> sc.hyp2f1(b, a, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])

它包含許多其他函數作為特殊情況。

>>> z = 0.5
>>> sc.hyp2f1(1, 1, 2, z)
1.3862943611198901
>>> -np.log(1 - z) / z
1.3862943611198906

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, z**2)
1.098612288668109
>>> np.log((1 + z) / (1 - z)) / (2 * z)
1.0986122886681098

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, -z**2)
0.9272952180016117
>>> np.arctan(z) / z
0.9272952180016122