scipy.special.

chebyt

scipy.special.chebyt(n, monic=False)

第一類切比雪夫多項式。

定義為以下方程的解：

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}T_n - x\frac{d}{dx}T_n + n^2T_n = 0;\]

\(T_n\) 是 \(n\) 次多項式。

參數:

nint

多項式的次數。

monicbool, optional

若 True，則將前導係數縮放為 1。預設值為 False。

返回:

Torthopoly1d

第一類切比雪夫多項式。

另請參閱

chebyu

第二類切比雪夫多項式。

註解

多項式 \(T_n\) 在區間 \([-1, 1]\) 上對於權重函數 \((1 - x^2)^{-1/2}\) 是正交的。

參考文獻

[AS]

Milton Abramowitz 與 Irene A. Stegun (編輯)。數學函數手冊，包含公式、圖表及數學表格。紐約：Dover，1972。

範例

在您的瀏覽器中試試看！

第一類 \(n\) 階切比雪夫多項式可以透過特定 \(n \times n\) 矩陣的行列式求得。舉例來說，我們可以檢查從以下 \(3 \times 3\) 矩陣的行列式獲得的點如何精確地落在 \(T_3\) 上

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $T_3$')
>>> ax.plot(x, chebyt(3)(x), label=rf'$T_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

它們也透過以下關係式與 Jacobi 多項式 \(P_n^{(-0.5, -0.5)}\) 相關

\[P_n^{(-0.5, -0.5)}(x) = \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} T_n(x)\]

讓我們針對 \(n = 3\) 驗證看看

>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(3, -0.5, -0.5)(x),
...             1/64 * binom(6, 3) * chebyt(3)(x))
True

我們可以針對 \(n\) 的一些值繪製切比雪夫多項式 \(T_n\)

>>> x = np.arange(-1.5, 1.5, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-4.0, 4.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $T_n$')
>>> for n in np.arange(2,5):
...     ax.plot(x, chebyt(n)(x), label=rf'$T_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

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