scipy.special.gdtr#

scipy.special.gdtr(a, b, x, out=None) = <ufunc 'gdtr'>#

Gamma 分布累積分布函數。

返回從零到 x 的 gamma 機率密度函數的積分，

\[F = \int_0^x \frac{a^b}{\Gamma(b)} t^{b-1} e^{-at}\,dt,\]

其中 \(\Gamma\) 是 gamma 函數。

參數:

aarray_like: gamma 分布的速率參數，有時表示為 \(\beta\) (float)。它也是尺度參數 \(\theta\) 的倒數。
barray_like: gamma 分布的形狀參數，有時表示為 \(\alpha\) (float)。
xarray_like: 分位數（積分上限；float）。
outndarray, optional: 函數值的可選輸出陣列

返回:

Fscalar or ndarray: 在 x 處評估的具有參數 a 和 b 的 gamma 分布的 CDF。

參見

gdtrc: gamma 分布的 1 - CDF。
scipy.stats.gamma: Gamma 分布

註解

評估是使用與不完全 gamma 積分（正則化 gamma 函數）的關係進行的。

Cephes [1] 常式 gdtr 的包裝函式。直接調用 gdtr 可以提高效能，相較於 scipy.stats.gamma 的 cdf 方法（請參閱下面的最後一個範例）。

參考文獻

[1]

Cephes Mathematical Functions Library, http://www.netlib.org/cephes/

範例

計算 a=1、b=2 在 x=5 時的函數值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import gdtr
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> gdtr(1., 2., 5.)
0.9595723180054873

通過為 x 提供 NumPy 陣列，計算 a=1 和 b=2 在多個點的函數值。

>>> xvalues = np.array([1., 2., 3., 4])
>>> gdtr(1., 1., xvalues)
array([0.63212056, 0.86466472, 0.95021293, 0.98168436])

gdtr 可以通過為 a、b 和 x 提供廣播兼容形狀的陣列來評估不同的參數集。在這裡，我們計算三個不同 a 在四個位置 x 和 b=3 的函數值，結果得到一個 3x4 陣列。

>>> a = np.array([[0.5], [1.5], [2.5]])
>>> x = np.array([1., 2., 3., 4])
>>> a.shape, x.shape
((3, 1), (4,))

>>> gdtr(a, 3., x)
array([[0.01438768, 0.0803014 , 0.19115317, 0.32332358],
       [0.19115317, 0.57680992, 0.82642193, 0.9380312 ],
       [0.45618688, 0.87534798, 0.97974328, 0.9972306 ]])

繪製四個不同參數集的函數圖。

>>> a_parameters = [0.3, 1, 2, 6]
>>> b_parameters = [2, 10, 15, 20]
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
>>> parameters_list = list(zip(a_parameters, b_parameters, linestyles))
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> for parameter_set in parameters_list:
...     a, b, style = parameter_set
...     gdtr_vals = gdtr(a, b, x)
...     ax.plot(x, gdtr_vals, label=fr"$a= {a},\, b={b}$", ls=style)
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel("$x$")
>>> ax.set_title("Gamma distribution cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-gdtr-1_00_00.png

gamma 分布也可作為 scipy.stats.gamma 使用。直接使用 gdtr 可能比調用 scipy.stats.gamma 的 cdf 方法快得多，特別是對於小陣列或個別值。要獲得相同的結果，必須使用以下參數化：stats.gamma(b, scale=1/a).cdf(x)=gdtr(a, b, x)。

>>> from scipy.stats import gamma
>>> a = 2.
>>> b = 3
>>> x = 1.
>>> gdtr_result = gdtr(a, b, x)  # this will often be faster than below
>>> gamma_dist_result = gamma(b, scale=1/a).cdf(x)
>>> gdtr_result == gamma_dist_result  # test that results are equal
True