scipy.special.iv#

scipy.special.iv(v, z, out=None) = <ufunc 'iv'>#

實階第一類修正貝索函數。

參數:

varray_like: 階數。若 z 為實數型態且為負值，則 v 必須為整數值。
z浮點數或複數的 array_like: 自變數。
outndarray，選用: 函數值的選用輸出陣列

回傳值:

純量或 ndarray: 修正貝索函數的值。

另請參閱

ive: 此函數已去除前導指數行為。
i0: 此函數階數為 0 的更快版本。
i1: 此函數階數為 1 的更快版本。

註解

對於實數 z 和 \(v \in [-50, 50]\)，評估使用 Temme 的方法 [1] 進行。對於較大的階數，則應用均勻漸近展開。

對於複數 z 和正數 v，會呼叫 AMOS [2] zbesi 常式。它對小的 z 使用冪級數，對大的 abs(z) 使用漸近展開，以朗斯基行列式歸一化的米勒演算法和對中等大小使用諾伊曼級數，以及對大階數使用 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的均勻漸近展開。反向遞迴用於生成序列或在必要時降低階數。

上述計算在右半平面中完成，並通過以下公式繼續到左半平面：

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

（當 z 的實部為正數時有效）。對於負數 v，公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

被使用，其中 \(K_v(z)\) 是第二類修正貝索函數，使用 AMOS 常式 zbesk 評估。

參考文獻

[1]

Temme，《Journal of Computational Physics》，第 21 卷，343 頁 (1976)

[2]

Donald E. Amos, “AMOS，用於複數自變數和非負階貝索函數的可攜式套件”，http://netlib.org/amos/

範例

在一個點評估 0 階函數。

>>> from scipy.special import iv
>>> iv(0, 1.)
1.2660658777520084

在一個點評估不同階數的函數。

>>> iv(0, 1.), iv(1, 1.), iv(1.5, 1.)
(1.2660658777520084, 0.565159103992485, 0.2935253263474798)

透過為 v 參數提供列表或 NumPy 陣列作為引數，可以在一次呼叫中執行不同階數的評估

>>> iv([0, 1, 1.5], 1.)
array([1.26606588, 0.5651591 , 0.29352533])

通過為 z 提供陣列，在多個點評估 0 階函數。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> iv(0, points)
array([2.2795853 , 1.        , 4.88079259])

如果 z 是一個陣列，如果要一次呼叫計算不同的階數，則階數參數 v 必須可廣播到正確的形狀。要計算 1D 陣列的 0 階和 1 階

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> iv(orders, points)
array([[ 2.2795853 ,  1.        ,  4.88079259],
       [-1.59063685,  0.        ,  3.95337022]])

繪製從 -5 到 5 的 0 到 3 階函數圖。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, iv(i, x), label=f'$I_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()