scipy.special.

roots_legendre#

scipy.special.roots_legendre(n, mu=False)[source]#

高斯-勒讓德積分。

計算高斯-勒讓德積分 [GL] 的樣本點和權重。樣本點是 n 次勒讓德多項式 \(P_n(x)\) 的根。這些樣本點和權重可以正確地積分在區間 \([-1, 1]\) 上，權重函數為 \(w(x) = 1\) 的次數小於等於 \(2n - 1\) 的多項式。詳情請參閱 [AS] 的 2.2.10 節。

參數：

nint: 積分階數
mubool, optional: 若為 True，則傳回權重總和，可選。

返回值：

xndarray: 樣本點
wndarray: 權重
mufloat: 權重總和

另請參閱

scipy.integrate.fixed_quad
numpy.polynomial.legendre.leggauss

參考文獻

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun，編輯。《數學函數手冊，包含公式、圖表和數學表格》。紐約：Dover，1972 年。

[GL] (1,2)

高斯-勒讓德積分，維基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Legendre_quadrature

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import roots_legendre, eval_legendre
>>> roots, weights = roots_legendre(9)

roots 儲存根，而 weights 儲存高斯-勒讓德積分的權重。

>>> roots
array([-0.96816024, -0.83603111, -0.61337143, -0.32425342,  0.        ,
        0.32425342,  0.61337143,  0.83603111,  0.96816024])
>>> weights
array([0.08127439, 0.18064816, 0.2606107 , 0.31234708, 0.33023936,
       0.31234708, 0.2606107 , 0.18064816, 0.08127439])

驗證我們有根，方法是在 roots 處評估 9 次勒讓德多項式。所有值都近似於零

>>> eval_legendre(9, roots)
array([-8.88178420e-16, -2.22044605e-16,  1.11022302e-16,  1.11022302e-16,
        0.00000000e+00, -5.55111512e-17, -1.94289029e-16,  1.38777878e-16,
       -8.32667268e-17])

在此我們將展示如何使用上述值，透過高斯-勒讓德積分 [GL] 估計 f(t) = t + 1/t 從 1 到 2 的積分。首先定義函數和積分極限。

>>> def f(t):
...    return t + 1/t
...
>>> a = 1
>>> b = 2

我們將使用 integral(f(t), t=a, t=b) 表示 f 從 t=a 到 t=b 的定積分。roots 中的樣本點來自區間 [-1, 1]，因此我們將透過簡單的變數變換來重寫積分

x = 2/(b - a) * t - (a + b)/(b - a)

反之

t = (b - a)/2 * x + (a + b)/2

接著

integral(f(t), a, b) =
    (b - a)/2 * integral(f((b-a)/2*x + (a+b)/2), x=-1, x=1)

我們可以使用 roots_legendre 返回的值來近似後者的積分。

將上面計算出的根從 [-1, 1] 映射到 [a, b]。

>>> t = (b - a)/2 * roots + (a + b)/2

將積分近似為函數值的加權總和。

>>> (b - a)/2 * f(t).dot(weights)
2.1931471805599276

將其與精確結果比較，精確結果為 3/2 + log(2)

>>> 1.5 + np.log(2)
2.1931471805599454