scipy.special.elliprd#

scipy.special.elliprd(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprd'>#

第二類對稱橢圓積分。

函數 RD 定義為 [1]

\[R_{\mathrm{D}}(x, y, z) = \frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y)]^{-1/2} (t + z)^{-3/2} dt\]

參數:

x, y, zarray_like: 實數或複數輸入參數。x 或 y 可以是複數平面上沿負實軸切割的任何數字，但它們之中最多一個可以是零，而 z 必須是非零。
outndarray，選用: 函數值的選用輸出陣列

返回:

參見

註解

RD 是橢圓積分 RJ 的退化情況：elliprd(x, y, z) == elliprj(x, y, z, z)。

此程式碼實作了 Carlson 基於重複定理和高達 7 階級數展開的演算法。[2]

在 1.8.0 版本中新增。

參考文獻

[1]

B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E5

[2]

B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

範例

基本齊次性性質

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprd

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprd(scale*x, scale*y, scale*z)
(-0.03703043835680379-0.24500934665683802j)

>>> elliprd(x, y, z)*np.power(scale, -1.5)
(-0.0370304383568038-0.24500934665683805j)

所有三個參數一致

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprd(x, x, x)
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)

>>> np.power(x, -1.5)
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j)

所謂的「第二勒姆尼卡常數」

>>> elliprd(0, 2, 1)/3
0.5990701173677961

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.75)**2/np.sqrt(2*np.pi)
0.5990701173677959