scipy.special.ellipe#

scipy.special.ellipe(m, out=None) = <ufunc 'ellipe'>#

第二類完全橢圓積分

此函數定義為

\[E(m) = \int_0^{\pi/2} [1 - m \sin(t)^2]^{1/2} dt\]

參數:

返回:

參見

註解

Cephes [1] 常式 ellpe 的包裝函式。

對於 m > 0，計算使用近似值，

\[E(m) \approx P(1-m) - (1-m) \log(1-m) Q(1-m),\]

其中 \(P\) 和 \(Q\) 是十階多項式。對於 m < 0，關係式

\[E(m) = E(m/(m - 1)) \sqrt(1-m)\]

被使用。

以 \(m\) 表示的參數化遵循 [2] 中第 17.2 節。其他以互補參數 \(1 - m\)、模角 \(\sin^2(\alpha) = m\) 或模數 \(k^2 = m\) 表示的參數化也被使用，因此請小心選擇正確的參數。

Legendre E 積分以多種方式與 Carlson 的對稱 R_D 或 R_G 函數相關 [3]。例如，

\[E(m) = 2 R_G(0, 1-k^2, 1) .\]

參考文獻

[1]

Cephes Mathematical Functions Library, http://www.netlib.org/cephes/

[2]

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

[3]

NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.28 of 2020-09-15. See Sec. 19.25(i) https://dlmf.nist.gov/19.25#i

範例

此函數用於尋找半長軸為 a 和半短軸為 b 的橢圓周長。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special

>>> a = 3.5
>>> b = 2.1
>>> e_sq = 1.0 - b**2/a**2  # eccentricity squared

然後使用以下公式找到周長

>>> C = 4*a*special.ellipe(e_sq)  # circumference formula
>>> C
17.868899204378693

當 a 和 b 相同時（表示離心率為 0），這會簡化為圓的周長。

>>> 4*a*special.ellipe(0.0)  # formula for ellipse with a = b
21.991148575128552
>>> 2*np.pi*a  # formula for circle of radius a
21.991148575128552