Ctrl+K

連續型統計分佈#

概述#

所有分佈都將具有位置 (L) 和尺度 (S) 參數，以及任何需要的形狀參數，形狀參數的名稱將會有所不同。將給出分佈的標準形式，其中 \(L=0.0\) 且 \(S=1.0.\) 可以使用各種函數獲得非標準形式（注意 \(U\) 是標準均勻隨機變數）。

函數名稱

標準函數

轉換

累積分佈函數 (CDF)

\(F\left(x\right)\)

\(F\left(x;L,S\right)=F\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

機率密度函數 (PDF)

\(f\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)\)

\(f\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}f\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

百分點函數 (PPF)

\(G\left(q\right)=F^{-1}\left(q\right)\)

\(G\left(q;L,S\right)=L+SG\left(q\right)\)

機率稀疏函數 (PSF)

\(g\left(q\right)=G^{\prime}\left(q\right)\)

\(g\left(q;L,S\right)=Sg\left(q\right)\)

風險函數 (HF)

\(h_{a}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{1-F\left(x\right)}\)

\(h_{a}\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}h_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

累積風險函數 (CHF)

\(H_{a}\left(x\right)=\) \(\log\frac{1}{1-F\left(x\right)}\)

\(H_{a}\left(x;L,S\right)=H_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

存活函數 (SF)

\(S\left(x\right)=1-F\left(x\right)\)

\(S\left(x;L,S\right)=S\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

反向存活函數 (ISF)

\(Z\left(\alpha\right)=S^{-1}\left(\alpha\right)=G\left(1-\alpha\right)\)

\(Z\left(\alpha;L,S\right)=L+SZ\left(\alpha\right)\)

動差生成函數 (MGF)

\(M_{Y}\left(t\right)=E\left[e^{Yt}\right]\)

\(M_{X}\left(t\right)=e^{Lt}M_{Y}\left(St\right)\)

隨機變量

\(Y=G\left(U\right)\)

\(X=L+SY\)

（微分）熵

\(h\left[Y\right]=-\int f\left(y\right)\log f\left(y\right)dy\)

\(h\left[X\right]=h\left[Y\right]+\log S\)

（非中心）動差

\(\mu_{n}^{\prime}=E\left[Y^{n}\right]\)

\(E\left[X^{n}\right]=L^{n}\sum_{k=0}^{N}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(\frac{S}{L}\right)^{k}\mu_{k}^{\prime}\)

中心動差

\(\mu_{n}=E\left[\left(Y-\mu\right)^{n}\right]\)

\(E\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{n}\right]=S^{n}\mu_{n}\)

平均值（眾數、中位數）、變異數

\(\mu,\,\mu_{2}\)

\(L+S\mu,\, S^{2}\mu_{2}\)

偏度

\(\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left(\mu_{2}\right)^{3/2}}\)

\(\gamma_{1}\)

峰度

\(\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\left(\mu_{2}\right)^{2}}-3\)

\(\gamma_{2}\)

動差#

非中心動差是使用 PDF 定義的

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f\left(x\right)dx.\]

請注意，這些始終可以使用 PPF 計算。在上述方程式中代入 \(x=G\left(q\right)\) 並得到

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{0}^{1}G^{n}\left(q\right)dq\]

這可能更容易以數值方式計算。請注意，\(q=F\left(x\right)\) 因此 \(dq=f\left(x\right)dx.\) 中心動差的計算方式類似 \(\mu=\mu_{1}^{\prime}\)

\begin{eqnarray*} \mu_{n} & = & \int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu\right)^{n}f\left(x\right)dx\\ & = & \int_{0}^{1}\left(G\left(q\right)-\mu\right)^{n}dq\\ & = & \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(-\mu\right)^{k}\mu_{n-k}^{\prime}\end{eqnarray*}

特別是

\begin{eqnarray*} \mu_{3} & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}^{\prime}+2\mu^{3}\\ & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}-\mu^{3}\\ \mu_{4} & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}^{\prime}+6\mu^{2}\mu_{2}^{\prime}-3\mu^{4}\\ & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}-6\mu^{2}\mu_{2}-\mu^{4}\end{eqnarray*}

偏度定義為

\[\gamma_{1}=\sqrt{\beta_{1}}=\frac{\mu_{3}}{\mu_{2}^{3/2}}\]

而（費雪）峰度為

\[\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^{2}}-3,\]

因此常態分佈的峰度為零。

中位數和眾數#

中位數 \(m_{n}\) 定義為密度一半在一方，一半在另一方的點。換句話說，\(F\left(m_{n}\right)=\frac{1}{2}\) 因此

\[m_{n}=G\left(\frac{1}{2}\right).\]

此外，眾數 \(m_{d}\) 定義為機率密度函數達到其峰值的值

\[m_{d}=\arg\max_{x}f\left(x\right).\]

擬合資料#

為了將資料擬合到分佈，最大化概似函數是很常見的方法。或者，某些分佈具有眾所周知的最小變異數不偏估計量。這些將預設選擇，但概似函數將始終可用於最小化。

如果 \(f\left(x;\boldsymbol{\theta}\right)\) 是隨機變數的 PDF，其中 \(\boldsymbol{\theta}\) 是參數向量（例如 \(L\) 和 \(S\) ），那麼對於來自此分佈的 \(N\) 個獨立樣本的集合，隨機向量 \(\mathbf{x}\) 的聯合分佈為

\[f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)=\prod_{i=1}^{N}f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right).\]

參數 \(\boldsymbol{\theta}\) 的最大概似估計量是使此函數最大化的參數，其中 \(\mathbf{x}\) 是固定的並由資料給定

\begin{eqnarray*} \boldsymbol{\theta}_{es} & = & \arg\max_{\boldsymbol{\theta}}f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & \arg\min_{\boldsymbol{\theta}}l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right).\end{eqnarray*}

其中

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right) & = & -\sum_{i=1}^{N}\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & -N\overline{\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)}\end{eqnarray*}

請注意，如果 \(\boldsymbol{\theta}\) 僅包含形狀參數，則可以透過在對數概似函數中將 \(x_{i}\) 替換為 \(\left(x_{i}-L\right)/S\) 、加入 \(N\log S\) 並最小化來擬合位置和尺度參數，因此

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(L,S;\boldsymbol{\theta}\right) & = & N\log S-\sum_{i=1}^{N}\log f\left(\frac{x_{i}-L}{S};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & N\log S+l_{\frac{\mathbf{x}-S}{L}}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\end{eqnarray*}

如果需要，可以使用平均值和變異數的樣本估計值，從 \(L\) 和 \(S\) 的樣本估計值（不一定是最大概似估計值）獲得

\begin{eqnarray*} \hat{S} & = & \sqrt{\frac{\hat{\mu}_{2}}{\mu_{2}}}\\ \hat{L} & = & \hat{\mu}-\hat{S}\mu\end{eqnarray*}

其中 \(\mu\) 和 \(\mu_{2}\) 假定為未轉換分佈（當 \(L=0\) 和 \(S=1\) 時）的平均值和變異數，且

\begin{eqnarray*} \hat{\mu} & = & \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}=\bar{\mathbf{x}}\\ \hat{\mu}_{2} & = & \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}=\frac{N}{N-1}\overline{\left(\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}}\right)^{2}}\end{eqnarray*}

平均值的標準符號#

我們將使用

\[\overline{y\left(\mathbf{x}\right)}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y\left(x_{i}\right)\]

其中 \(N\) 應從上下文中清楚得知，即樣本 \(x_{i}\) 的數量

參考文獻#

在教學課程中，幾個特殊函數重複出現，並在此處列出。

符號

描述

定義

\(\gamma\left(s, x\right)\)

下不完全伽瑪函數

\(\int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(\Gamma\left(s, x\right)\)

上不完全伽瑪函數

\(\int_x^\infty t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(B\left(x;a,b\right)\)

不完全貝塔函數

\(\int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(I\left(x;a,b\right)\)

正規化不完全貝塔函數

\(\frac{\Gamma\left(a+b\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)} \int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(\phi\left(x\right)\)

常態分佈的 PDF

\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\)

\(\Phi\left(x\right)\)

常態分佈的 CDF

\(\int_{-\infty}^{x}\phi\left(t\right) dt = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\)

\(\psi\left(z\right)\)

雙伽瑪函數

\(\frac{d}{dz} \log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(\psi_{n}\left(z\right)\)

多伽瑪函數

\(\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(I_{\nu}\left(y\right)\)

第一類修正貝索函數

\(\mathrm{Ei}(\mathrm{z})\)

指數積分

\(-\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt\)

\(\zeta\left(n\right)\)

黎曼 zeta 函數

\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}}\)

\(\zeta\left(n,z\right)\)

赫維茲 zeta 函數

\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\left(k+z\right)^{n}}\)

\(\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q};z)\)

超幾何函數

\(\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(a_{1})_{n}\cdots(a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots(b_{q})_{n}}} \,{\frac{z^{n}}{n!}}\)

scipy.stats 中的連續型分佈#

在本頁中