非中心 F 分布#
若 \(X_{1}\) 為自由度 \(\nu_{1}\) 和參數 \(\lambda\) 的非中心卡方分布，且 \(X_{2}\) 為自由度 \(\nu_{2}\) 的卡方分布，則 \(\left(X_{1}/X_{2}\right)\left(\nu_{2}/\nu_{1}\right)\) 的分布為非中心 F 分布。
此分布有 3 個形狀參數：自由度 \(\nu_{1}>0\) 和 \(\nu_{2}>0\)；以及 \(\lambda\geq 0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\lambda,\nu_{1},\nu_{2}\right) & = & \exp\left[\frac{\lambda}{2} + \frac{\left(\lambda\nu_{1}x\right)} {2\left(\nu_{1}x+\nu_{2}\right)} \right] \nu_{1}^{\nu_{1}/2}\nu_{2}^{\nu_{2}/2}x^{\nu_{1}/2-1} \\ & & \times\left(\nu_{2}+\nu_{1}x\right)^{-\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)/2} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(1+\frac{\nu_{2}}{2}\right) L_{\nu_{2}/2}^{\nu_{1}/2-1} \left(-\frac{\lambda\nu_{1}x} {2\left(\nu_{1}x+\nu_{2}\right)}\right)} {B\left(\frac{\nu_{1}}{2},\frac{\nu_{2}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)} \end{eqnarray*}
其中 \(L_{\nu_{2}/2}^{\nu_{1}/2-1}(x)\) 為伴隨拉蓋爾多項式。
若 \(\lambda=0\)，則此分布等同於自由度為 \(\nu_{1}\) 和 \(\nu_{2}\) 的費雪分布。