非中心卡方分佈#
分佈 \(\sum_{i=1}^{\nu}\left(Z_{i}+\delta_{i}\right)^{2}\) 其中 \(Z_{i}\) 是獨立的標準常態變數，而 \(\delta_{i}\) 是常數。 \(\lambda=\sum_{i=1}^{\nu}\delta_{i}^{2}>0.\) （在通訊中，它被稱為 Marcum-Q 函數）。它可以被認為是廣義的 Rayleigh-Rice 分佈。
兩個形狀參數為 \(\nu\)，一個正整數，以及 \(\lambda\)，一個正實數。 支援為 \(x\geq0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\nu,\lambda\right) & = & e^{-\left(\lambda+x\right)/2}\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\left(\nu-2\right)/4}I_{\left(\nu-2\right)/2}\left(\sqrt{\lambda x}\right)\\ F\left(x;\nu,\lambda\right) & = & \sum_{j=0}^{\infty}\left\{ \frac{\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}e^{-\lambda/2}\right\} \mathrm{Pr}\left[\chi_{\nu+2j}^{2}\leq x\right]\\ G\left(q;\nu,\lambda\right) & = & F^{-1}\left(q;\nu,\lambda\right)\\ \mu & = & \nu+\lambda\\ \mu_{2} & = & 2\left(\nu+2\lambda\right)\\ \gamma_{1} & = & \frac{\sqrt{8}\left(\nu+3\lambda\right)}{\left(\nu+2\lambda\right)^{3/2}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{12\left(\nu+4\lambda\right)}{\left(\nu+2\lambda\right)^{2}}\end{eqnarray*}
其中 \(I_{\nu }(y)\) 是第一類修正貝索函數。
參考文獻#
實作： scipy.stats.ncx2