對數常態 (Cobb-Douglass) 分佈#
具有一個形狀參數 \(\sigma\) >0。（請注意，「迴歸」\(A=\log S\)，其中 \(S\) 是尺度參數，而 \(A\) 是基礎常態分佈的平均值）。支援範圍為 \(x\geq0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\sigma\right) & = & \frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)^{2}\right)\\ F\left(x;\sigma\right) & = & \Phi\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)\\ G\left(q;\sigma\right) & = & \exp\left( \sigma\Phi^{-1}\left(q\right)\right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \mu & = & \exp\left(\sigma^{2}/2\right)\\ \mu_{2} & = & \exp\left(\sigma^{2}\right)\left[\exp\left(\sigma^{2}\right)-1\right]\\ \gamma_{1} & = & \sqrt{p-1}\left(2+p\right)\\ \gamma_{2} & = & p^{4}+2p^{3}+3p^{2}-6\quad\quad p=e^{\sigma^{2}}\end{eqnarray*}
請注意，使用 JKB 標記法，我們有 \(\theta=L,\) \(\zeta=\log S\)，並且我們給出了分佈的所謂反對數常態形式。這更符合一般機率分佈的位置、尺度參數描述。
\[h\left[X\right]=\frac{1}{2}\left[1+\log\left(2\pi\right)+2\log\left(\sigma\right)\right].\]
另請注意，如果 \(X\) 是對數常態分佈的隨機變數，其中 \(L=0\) 和 \(S\) 以及形狀參數 \(\sigma.\)。那麼，\(\log X\) 是常態分佈的，具有變異數 \(\sigma^{2}\) 和平均數 \(\log S.\)