馮·米塞斯分佈#
有一個形狀參數 \(\kappa>0\)，支援範圍 \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\)。對於 \(\kappa<100\) 的值，使用以下的 PDF 和 CDF 公式。否則，使用變異數為 \(1/\kappa\) 的常態近似。[請注意，以下的 PDF 和 CDF 函數是週期性的，週期為 \(2\pi\)。如果給定的輸入超出 \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\) 範圍，它會被轉換為此範圍內的等效角度。]
\begin{eqnarray*} f\left(x;\kappa\right) & = & \frac{e^{\kappa\cos x}}{2\pi I_{0}\left(\kappa\right)}\\ F\left(x;\kappa\right) & = & \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{I_{k}\left(\kappa\right)\sin\left(kx\right)}{I_{0}\left(\kappa\right)\pi k}\\ G\left(q; \kappa\right) & = & F^{-1}\left(x;\kappa\right)\end{eqnarray*}
其中 \(I_{k}(\kappa)\) 是第一類修正貝索函數。
\begin{eqnarray*} \mu & = & 0\\ \mu_{2} & = & \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}f\left(x;\kappa\right)dx\\ \gamma_{1} & = & 0\\ \gamma_{2} & = & \frac{\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}f\left(x;\kappa\right)dx}{\mu_{2}^{2}}-3\end{eqnarray*}
這可以用於定義圓形變異數。