Jones 與 Faddy 偏斜 T 分佈#
偏斜 t 分佈的偏斜延伸，定義域為 \(a>0\) 和 \(b>0\)。
\begin{eqnarray*} f(x;a,b) & = & C_{a,b}^{-1} \left(1+\frac{x}{\left(a+b+x^2\right)^{1/2}}\right)^{a+1/2} \left(1-\frac{x}{\left(a+b+x^2\right)^{1/2}}\right)^{b+1/2} \\ F(x;a,b) & = & I\left(\frac{1+x(a+b+x^2)^{-1/2}}{2};a,b\right) \\ \mu_{n}^{\prime} & = & \frac{(a+b)^{n/2}}{2^nB(a,b)}\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^iB\left(a+\frac{n}{2}-i, b-\frac{n}{2}+i\right) \end{eqnarray*}
其中 \(C_{a,b}=2^{a+b-1}B(a,b)(a+b)^{1/2}\)，\(B\) 是 beta 函數 scipy.special.beta，且動量 \(\mu_{n}^{\prime}\) 的公式在 \(a>n/2\) 和 \(b>n/2\) 的條件下成立。
當 \(a<b\) 時，分佈為負偏斜；當 \(a>b\) 時，分佈為正偏斜。如果 \(a=b\)，則我們恢復自由度為 \(2a\) 的 t 分佈。
參考文獻#
M.C. Jones 與 M.J. Faddy。「t 分佈的偏斜延伸及其應用」Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Statistical Methodology) 65, no. 1 (2003): 159-174。 DOI:10.1111/1467-9868.00378