KSone 分布#
這是從 \(n\) 個樣本或觀測值計算出的經驗分布函數，與比較（或目標）累積分布函數之間最大正差的分布。
寫成 \(D_n^+ = \sup_t \left(F_{empirical,n}(t)-F_{target}(t)\right)\)，ksone 是 \(D_n^+\) 值的分布。（\(D_n^- = \sup_t \left(F_{target}(t)-F_{empirical,n}(t)\right)\) 差值的分布遵循相同的分布，因此 ksone 可用於任一側的單側檢定。）
有一個形狀參數 \(n\)，一個正整數，且支持為 \(x\in\left[0,1\right]\)。
\begin{eqnarray*} F\left(n, x\right) & = & 1 - \sum_{j=0}^{\lfloor n(1-x)\rfloor} \dbinom{n}{j} x \left(x+\frac{j}{n}\right)^{j-1} \left(1-x-\frac{j}{n}\right)^{n-j}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.smirnov}(n, x) \\ \lim_{n \rightarrow\infty} F\left(n, \frac{x}{\sqrt n}\right) & = & e^{-2 x^2} \end{eqnarray*}
參考文獻#
「柯爾莫哥洛夫-史米諾夫檢定」，維基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test
Birnbaum, Z. W.; Tingey, Fred H. 「機率分布函數的單側信賴輪廓」。Ann. Math. Statist. 22 (1951), no. 4, 592–596.