HalfCauchy 分布#
若 \(Z\) 服從雙曲正割分布，則 \(e^{Z}\) 服從 Half-Cauchy 分布。此外，若 \(W\) 服從（標準）柯西分布，則 \(\left|W\right|\) 服從 Half-Cauchy 分布。是摺疊柯西分布在 \(c=0.\) 的特例。其支撐集為 \(x\geq0\)。標準形式為
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi\left(1+x^{2}\right)} \\ F\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi}\arctan\left(x\right)\\ G\left(q\right) & = & \tan\left(\frac{\pi}{2}q\right)\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=\cos t+\frac{2}{\pi}\left[\mathrm{Si}\left(t\right)\cos t-\mathrm{Ci}\left(\mathrm{-}t\right)\sin t\right]\]
其中 \(\mathrm{Si}(t)=\int_0^t \frac{\sin x}{x} dx\)，\(\mathrm{Ci}(t)=-\int_t^\infty \frac{\cos x}{x} dx\)。
\begin{eqnarray*} m_{d} & = & 0\\ m_{n} & = & \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{eqnarray*}
沒有動差，因為積分發散。
\begin{eqnarray*} h\left[X\right] & = & \log\left(2\pi\right)\\ & \approx & 1.8378770664093454836.\end{eqnarray*}