折疊柯西分佈#

此公式可以用柯西分佈的標準公式表示（將 cdf 稱為 \(C\left(x\right)\)，pdf 稱為 \(d\left(x\right)\)）。如果 \(Y\) 是柯西分佈，則 \(\left|Y\right|\) 是折疊柯西分佈。有一個形狀參數 \(c\)，且 support 為 \(x\geq0.\)

\begin{eqnarray*} f\left(x;c\right) & = & \frac{1}{\pi\left(1+\left(x-c\right)^{2}\right)}+\frac{1}{\pi\left(1+\left(x+c\right)^{2}\right)}\\ F\left(x;c\right) & = & \frac{1}{\pi}\tan^{-1}\left(x-c\right)+\frac{1}{\pi}\tan^{-1}\left(x+c\right)\\ G\left(q;c\right) & = & F^{-1}\left(q;c\right)\end{eqnarray*}