反向常態 (反高斯) 分佈#
標準形式涉及形狀參數 \(\mu\) (在大多數定義中，使用 \(L=0.0\))。 (根據迴歸文檔 \(\mu=A/B\) ) 和 \(B=S\) 且 \(L\) 不是該分佈中的參數。標準形式為 \(x>0\)
\begin{eqnarray*} f\left(x;\mu\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi x^{3}}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2x\mu^{2}}\right).\\ F\left(x;\mu\right) & = & \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x-\mu}{\mu}\right)+\exp\left(\frac{2}{\mu}\right)\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x+\mu}{\mu}\right)\\ G\left(q;\mu\right) & = & F^{-1}\left(q;\mu\right)\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu\\ \mu_{2} & = & \mu^{3}\\ \gamma_{1} & = & 3\sqrt{\mu}\\ \gamma_{2} & = & 15\mu\\ m_{d} & = & \frac{\mu}{2}\left(\sqrt{9\mu^{2}+4}-3\mu\right)\end{eqnarray*}
當以完整形式寫入，包含尺度參數 \(S\) 和位置參數 \(L\) 時，這與正規形式或 JKB「雙參數」反高斯分佈相關，透過取 \(L=0\) 和 \(S\equiv\lambda,\) 則 \(\mu S\) 等於 \(\mu_{2}\)，其中 \(\mu_{2}\) 是 JKB 使用的參數。 我們偏好此形式，因為它一致地使用尺度參數。 請注意，在 JKB 中，偏度 \(\left(\sqrt{\beta_{1}}\right)\) 和峰度 ( \(\beta_{2}-3\) ) 都是僅有 \(\mu_{2}/\lambda=\mu S/S=\mu\) 的函數，如此處所示，而此處標準形式的變異數和平均值已適當地轉換。