常態逆高斯分佈#
機率密度函數由下式給出
\begin{eqnarray*} f(x; a, b) = \frac{a \exp\left(\sqrt{a^2 - b^2} + b x \right)}{\pi \sqrt{1 + x^2}} \, K_1\left(a * \sqrt{1 + x^2}\right), \end{eqnarray*}
其中 \(x\) 是一個實數，參數 \(a\) 是尾部厚度，而 \(b\) 是不對稱參數，滿足 \(a > 0\) 且 \(|b| \leq a\)。\(K_1\) 是第二類修正貝索函數 (scipy.special.k1)。
具有參數 \(a\) 和 \(b\) 的常態逆高斯隨機變數可以表示為 \(X = b V + \sqrt(V) X\)，其中 \(X\) 是 norm(0,1)，而 \(V\) 是 invgauss(mu=1/sqrt(a**2 - b**2))。因此，常態逆高斯分佈是常態變異數-均值混合模型的一個特例。
分佈的另一個常見參數化由 pdf 的以下表達式給出
\begin{eqnarray*} g(x, \alpha, \beta, \delta, \mu) = \frac{\alpha\delta K_1 \left(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)}{\pi \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}} \, e^{\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} + \beta (x - \mu)} \end{eqnarray*}
在 SciPy 中，這對應於 \(a = \alpha \delta, b = \beta \delta, \text{loc} = \mu, \text{scale}=\delta\)。