scipy.optimize.

toms748#

scipy.optimize.toms748(f, a, b, args=(), k=1, xtol=2e-12, rtol=8.881784197001252e-16, maxiter=100, full_output=False, disp=True)[source]#

使用 TOMS 演算法 748 方法尋找根。

實作 Alefeld、Potro 和 Shi 的演算法 748 方法，以在區間 [a , b] 上尋找函數 f 的根，其中 f(a) 和 f(b) 必須具有相反的符號。

它混合使用了反三次插值和「牛頓-二次」步驟。[APS1995]。

參數:

f函數: 返回純量的 Python 函數。函數 \(f\) 必須是連續的，且 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 具有相反的符號。
a純量,: 搜尋區間的下邊界
b純量,: 搜尋區間的上邊界
argstuple, optional: 包含函數 f 的額外參數。f 通過 f(x, *args) 呼叫。
kint, optional: 每次迭代要執行的牛頓二次步驟數。k>=1。
xtol純量, optional: 計算出的根 x0 將滿足 np.allclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol)，其中 x 是精確根。參數必須為正數。
rtol純量, optional: 計算出的根 x0 將滿足 np.allclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol)，其中 x 是精確根。
maxiterint, optional: 如果在 maxiter 次迭代中未達到收斂，則會引發錯誤。必須 >= 0。
full_outputbool, optional: 如果 full_output 為 False，則返回根。如果 full_output 為 True，則傳回值為 (x, r)，其中 x 是根，而 r 是一個 RootResults 物件。
dispbool, optional: 如果為 True，則在演算法未收斂時引發 RuntimeError。否則，收斂狀態會記錄在 RootResults 返回物件中。

返回:

rootfloat: 函數 f 的近似根
rRootResults (如果 full_output = True 則存在): 包含收斂資訊的物件。特別是，如果常式收斂，則 r.converged 為 True。

參見

brentq, brenth, ridder, bisect, newton
fsolve: 尋找 N 維度的根。

註解

f 必須是連續的。演算法 748 與 k=2 在漸近意義上是已知最有效率的演算法，用於尋找四次連續可微函數的根。與 Brent 演算法 (可能僅在最後一步減少封閉區間的長度) 相反，演算法 748 在每次迭代中都會減少它，並具有與尋找根相同的漸近效率。

為了易於陳述效率指標，假設 f 具有 4 個連續導數。對於 k=1，收斂階數至少為 2.7，並且每次迭代約有 2 個函數評估，效率指標約為 1.65。對於 k=2，階數約為 4.6，每次迭代漸近地進行 3 個函數評估，效率指標為 1.66。對於更高的 k 值，效率指標接近 (3k-2) 的 k 次根，因此 k=1 或 k=2 通常是適當的。

參考文獻

[APS1995]

Alefeld, G. E. and Potra, F. A. and Shi, Yixun, Algorithm 748: Enclosing Zeros of Continuous Functions, ACM Trans. Math. Softw. Volume 221(1995) doi = {10.1145/210089.210111}

範例

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

>>> from scipy import optimize
>>> root, results = optimize.toms748(f, 0, 2, full_output=True)
>>> root
1.0
>>> results
      converged: True
           flag: converged
 function_calls: 11
     iterations: 5
           root: 1.0
         method: toms748