scipy.optimize.

newton#

scipy.optimize.newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)[原始碼]#

使用牛頓-拉弗森（Newton-Raphson）（或正割或哈雷）法尋找實數或複數函數的根。

給定附近的純量起始點 x0，尋找純量值函數 func 的根。如果提供了 func 的導數 fprime，則使用牛頓-拉弗森法；否則使用正割法。如果也提供了 func 的二階導數 fprime2，則使用哈雷法。

如果 x0 是包含多個項目的序列，newton 會傳回一個陣列：來自 x0 中每個（純量）起始點的函數根。在這種情況下，func 必須向量化，以傳回與其第一個引數形狀相同的序列或陣列。如果給定了 fprime (fprime2)，則其傳回值也必須具有相同的形狀：每個元素是 func 對其唯一變數在每個第一個引數元素處求值的一階（二階）導數。

newton 用於尋找單變數純量值函數的根。對於涉及多個變數的問題，請參閱 root。

參數:

func可呼叫物件: 想要尋找根的函數。它必須是單變數函數，形式為 f(x,a,b,c...)，其中 a,b,c... 是可以在 args 參數中傳遞的額外引數。
x0浮點數、序列或 ndarray: 根的初始估計值，應接近實際根。如果不是純量，則 func 必須向量化，並傳回與其第一個引數形狀相同的序列或陣列。
fprime可呼叫物件，選用: 函數的導數（如果可用且方便）。如果為 None（預設值），則使用正割法。
args元組，選用: 在函數呼叫中使用的額外引數。
tol浮點數，選用: 根值允許的誤差。如果 func 是複數值，建議使用較大的 tol，因為 x 的實部和虛部都會影響 |x - x0|。
maxiter整數，選用: 最大迭代次數。
fprime2可呼叫物件，選用: 函數的二階導數（如果可用且方便）。如果為 None（預設值），則使用常規牛頓-拉弗森法或正割法。如果不為 None，則使用哈雷法。
x1浮點數，選用: 根的另一個估計值，應接近實際根。如果未提供 fprime，則使用此值。
rtol浮點數，選用: 終止的容差（相對）。
full_output布林值，選用: 如果 full_output 為 False（預設值），則傳回根。如果為 True 且 x0 為純量，則傳回值為 (x, r)，其中 x 是根，r 是 RootResults 物件。如果為 True 且 x0 為非純量，則傳回值為 (x, converged, zero_der)（請參閱「傳回值」章節以了解詳細資訊）。
disp布林值，選用: 如果為 True，則當演算法未收斂時引發 RuntimeError，錯誤訊息包含迭代次數和目前函數值。否則，收斂狀態會記錄在 RootResults 傳回物件中。如果 x0 不是純量，則忽略此參數。注意：這與顯示無關，但是，`disp` 關鍵字為了向後相容性而無法重新命名。

傳回值:

root浮點數、序列或 ndarray: 函數為零的估計位置。
rRootResults，選用: 如果 full_output=True 且 x0 為純量，則存在。包含收斂資訊的物件。特別是，如果常式收斂，則 r.converged 為 True。
converged布林值 ndarray，選用: 如果 full_output=True 且 x0 為非純量，則存在。對於向量函數，指示哪些元素成功收斂。
zero_der布林值 ndarray，選用: 如果 full_output=True 且 x0 為非純量，則存在。對於向量函數，指示哪些元素的導數為零。

另請參閱

root_scalar: 純量函數的尋根求解器介面
root: 多輸入、多輸出函數的尋根求解器介面

註釋

牛頓-拉弗森法的收斂速度是二次的，哈雷法是三次的，而正割法是次二次的。這表示如果函數表現良好，則在第 n 次迭代後，估計根的實際誤差約為 (n-1) 步後誤差的平方（哈雷法為立方）。但是，此處使用的停止準則是步長大小，並且不保證已找到根。因此，應驗證結果。更安全的演算法是 brentq、brenth、ridder 和 bisect，但它們都要求首先將根括在函數變號的區間中。建議在已找到此類區間的一維問題中，一般使用 brentq 演算法。

當 newton 與陣列一起使用時，它最適合以下類型的問題

初始猜測值 x0 與根的距離都相對相同。
某些或所有額外引數 args 也是陣列，以便可以一起解決一類相似的問題。
初始猜測值 x0 的大小大於 O(100) 個元素。否則，樸素迴圈的效能可能與向量化一樣好或更好。

範例

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy import optimize

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

fprime 未提供，使用正割法

>>> root = optimize.newton(f, 1.5)
>>> root
1.0000000000000016
>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0000000000000016

僅提供 fprime，使用牛頓-拉弗森法

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2)
>>> root
1.0

同時提供 fprime2 和 fprime，使用哈雷法

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2,
...                        fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0

當我們想要為一組相關的起始值和/或函數參數尋找根時，我們可以同時提供它們作為輸入陣列

>>> f = lambda x, a: x**3 - a
>>> fder = lambda x, a: 3 * x**2
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal(100)
>>> a = np.arange(-50, 50)
>>> vec_res = optimize.newton(f, x, fprime=fder, args=(a, ), maxiter=200)

以上等效於在 for 迴圈中分別求解 (x, a) 中的每個值，只是速度更快

>>> loop_res = [optimize.newton(f, x0, fprime=fder, args=(a0,),
...                             maxiter=200)
...             for x0, a0 in zip(x, a)]
>>> np.allclose(vec_res, loop_res)
True

繪製為 a 的所有值找到的結果

>>> analytical_result = np.sign(a) * np.abs(a)**(1/3)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(a, analytical_result, 'o')
>>> ax.plot(a, vec_res, '.')
>>> ax.set_xlabel('$a$')
>>> ax.set_ylabel('$x$ where $f(x, a)=0$')
>>> plt.show()

../../_images/scipy-optimize-newton-1.png