scipy.stats.normal_inverse_gamma

scipy.stats.normal_inverse_gamma = <scipy.stats._multivariate.normal_inverse_gamma_gen object>

常態-逆伽瑪分布。

常態-逆伽瑪分布是具有未知平均數和變異數的常態分布的共軛先驗分布。

參數:

mu, lmbda, a, barray_like

分布的形狀參數。請參閱註釋。

seed{None, int, np.random.RandomState, np.random.Generator}, optional

用於繪製隨機變數。如果 seed 為 None，則使用 RandomState 單例。如果 seed 為整數，則使用新的 RandomState 實例，並以 seed 作為種子。如果 seed 已經是 RandomState 或 Generator 實例，則使用該物件。預設值為 None。

另請參閱

norm

invgamma

註釋

normal_inverse_gamma 的機率密度函數為

\[f(x, \sigma^2; \mu, \lambda, \alpha, \beta) = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{\sigma^2} \right)^{\alpha + 1} \exp \left(- \frac{2 \beta + \lambda (x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right)\]

其中所有參數都是實數且有限，且 \(\sigma^2 > 0\)、 \(\lambda > 0\)、 \(\alpha > 0\) 和 \(\beta > 0\)。

方法 normal_inverse_gamma.pdf 和 normal_inverse_gamma.logpdf 接受 x 和 s2 作為引數 \(x\) 和 \(\sigma^2\)。所有方法都接受 mu、 lmbda、 a 和 b 作為形狀參數 \(\mu\)、 \(\lambda\)、 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。

在版本 1.15 中新增。

參考文獻

[1]

Normal-inverse-gamma distribution, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Normal-inverse-gamma_distribution

範例

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假設我們希望研究常態-逆伽瑪分布與逆伽瑪分布之間的關係。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import stats
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu, lmbda, a, b = 0, 1, 20, 20
>>> norm_inv_gamma = stats.normal_inverse_gamma(mu, lmbda, a, b)
>>> inv_gamma = stats.invgamma(a, scale=b)

一種方法是將隨機變數的 s2 元素的分布與逆伽瑪分布的 PDF 進行比較。

>>> _, s2 = norm_inv_gamma.rvs(size=10000, random_state=rng)
>>> bins = np.linspace(s2.min(), s2.max(), 50)
>>> plt.hist(s2, bins=bins, density=True, label='Frequency density')
>>> s2 = np.linspace(s2.min(), s2.max(), 300)
>>> plt.plot(s2, inv_gamma.pdf(s2), label='PDF')
>>> plt.xlabel(r'$\sigma^2$')
>>> plt.ylabel('Frequency density / PMF')
>>> plt.show()

同樣地，我們可以將 s2 的邊際分布與逆伽瑪分布進行比較。

>>> from scipy.integrate import quad_vec
>>> from scipy import integrate
>>> s2 = np.linspace(0.5, 3, 6)
>>> res = quad_vec(lambda x: norm_inv_gamma.pdf(x, s2), -np.inf, np.inf)[0]
>>> np.allclose(res, inv_gamma.pdf(s2))
True

樣本平均值可與分布的平均值相比較。

>>> x, s2 = norm_inv_gamma.rvs(size=10000, random_state=rng)
>>> x.mean(), s2.mean()
(np.float64(-0.005254750127304425), np.float64(1.050438111436508))
>>> norm_inv_gamma.mean()
(np.float64(0.0), np.float64(1.0526315789473684))

同樣地，對於變異數

>>> x.var(ddof=1), s2.var(ddof=1)
(np.float64(1.0546150578185023), np.float64(0.061829865266330754))
>>> norm_inv_gamma.var()
(np.float64(1.0526315789473684), np.float64(0.061557402277623886))

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方法

pdf(x, s2, mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	機率密度函數。
logpdf(x, s2, mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	機率密度函數的對數。
mean(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	分布平均值。
var(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	分布變異數。
rvs(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1, size=None, random_state=None)	繪製隨機樣本。