scipy.optimize.

newton_krylov#

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

尋找函數的根，使用 Krylov 近似法求逆雅可比矩陣。

此方法適用於解決大規模問題。

參數:

Ffunction(x) -> f

尋找其根的函數；應接受並返回類陣列物件。

xinarray_like

解決方案的初始猜測

rdifffloat，選用

數值微分中使用的相對步長。

methodstr 或可呼叫物件，選用

用於近似雅可比矩陣的 Krylov 方法。可以是字串，或實作與 scipy.sparse.linalg 中的迭代求解器相同介面的函數。如果是字串，則需要是以下之一：'lgmres'、'gmres'、'bicgstab'、'cgs'、'minres'、'tfqmr'。

預設值為 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_maxiterint，選用

傳遞給「內部」Krylov 求解器的參數：最大迭代次數。即使未達到指定的容忍度，迭代也會在 maxiter 步驟後停止。

inner_MLinearOperator 或 InverseJacobian

內部 Krylov 迭代的預處理器。請注意，您也可以使用逆雅可比矩陣作為（自適應）預處理器。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果預處理器有名為「update」的方法，則會在每個非線性步驟後呼叫它，如 update(x, f)，其中 x 給出當前點，而 f 給出當前函數值。

outer_kint，選用

在 LGMRES 非線性迭代中保留的子空間大小。有關詳細資訊，請參閱 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_kwargskwargs

「內部」Krylov 求解器的關鍵字參數（使用 method 定義）。參數名稱必須以 inner_ 前綴開頭，該前綴將在傳遞到內部方法之前被去除。有關詳細資訊，請參閱例如 scipy.sparse.linalg.gmres。

iterint，選用

要進行的迭代次數。如果省略（預設值），則進行達到容忍度所需次數的迭代。

verbosebool，選用

在每次迭代時將狀態列印到標準輸出。

maxiterint，選用

要進行的最大迭代次數。如果需要更多次迭代才能達到收斂，則會引發 NoConvergence。

f_tolfloat，選用

殘差的絕對容忍度（以最大範數表示）。如果省略，預設值為 6e-6。

f_rtolfloat，選用

殘差的相對容忍度。如果省略，則不使用。

x_tolfloat，選用

絕對最小步長，由雅可比矩陣近似值確定。如果步長小於此值，則優化終止並視為成功。如果省略，則不使用。

x_rtolfloat，選用

相對最小步長。如果省略，則不使用。

tol_normfunction(vector) -> scalar，選用

收斂檢查中使用的範數。預設值為最大範數。

line_search{None，'armijo'（預設值），'wolfe'}，選用

要使用哪種類型的線搜索來確定雅可比矩陣近似值給定方向上的步長。預設值為 'armijo'。

callbackfunction，選用

選用的回調函數。它在每次迭代時作為 callback(x, f) 呼叫，其中 x 是當前解，而 f 是相應的殘差。

返回:

solndarray: 包含最終解的陣列（與 x0 的陣列類型相似）。

引發:

NoConvergence: 當找不到解決方案時。

另請參閱

root: 多變數函數的求根演算法介面。特別是參閱 method='krylov'。
scipy.sparse.linalg.gmres
scipy.sparse.linalg.lgmres

註釋

此函數實現了 Newton-Krylov 求解器。基本概念是使用迭代 Krylov 方法計算雅可比矩陣的逆矩陣。這些方法僅需要評估雅可比矩陣向量乘積，這可以方便地通過有限差分來近似

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由於使用了迭代矩陣逆矩陣，這些方法可以處理大型非線性問題。

SciPy 的 scipy.sparse.linalg 模組提供了多種 Krylov 求解器可供選擇。此處的預設值為 lgmres，它是重新啟動 GMRES 迭代的變體，它重複使用先前牛頓步驟中獲得的一些資訊，以在後續步驟中求逆雅可比矩陣。

有關 Newton-Krylov 方法的回顧，請參閱例如 [1]，有關 LGMRES 稀疏逆方法，請參閱 [2]。

參考文獻

[1]

C. T. Kelley，《用牛頓法求解非線性方程式》，SIAM，第 57-83 頁，2003 年。DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A. Knoll 和 D.E. Keyes，J. Comp. Phys. 193, 357 (2004)。DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005)。DOI:10.1137/S0895479803422014

範例

以下函數定義了一個非線性方程式系統

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

解決方案可以如下方式獲得。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])