scipy.interpolate.

FloaterHormannInterpolator

class scipy.interpolate.FloaterHormannInterpolator(points, values, *, d=3)

Floater-Hormann 重心有理插值。

如 [1] 所述，Floater 和 Hormann 的方法計算重心有理插值的權重，該插值在實軸上沒有極點。

參數:

x1D 類陣列 (array_like)，形狀 (n,)

包含自變數值的 1 維陣列。值可以是實數或複數，但必須是有限的。

y類陣列 (array_like)，形狀 (n, …)

包含應變數值的陣列。values 的無限值和 NaN 值，以及 x 的對應值將被捨棄。

d整數 (int)，選用

將 n - d 個 d 次多項式混合在一起。對於 d = n - 1，它等同於多項式插值。必須滿足 0 <= d < n，預設值為 3。

另請參閱

AAA

實數和複數函數的重心有理逼近。

pade

Padé 逼近。

註解

Floater-Hormann 插值器是一個有理函數，它以 \(O(h^{d+1})\) 的逼近階數內插數據。有理函數將 n - d 個 d 次多項式混合在一起，以產生一個在實軸上沒有極點的有理插值器，這與 AAA 不同。插值器由下式給出

\[r(x) = \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) p_i(x)} {\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)},\]

where \(p_i(x)\) is an interpolating polynomials of at most degree d through the points \((x_i,y_i),\dots,(x_{i+d},y_{i+d}), and :math:\)lambda_i(z)` are blending functions defined by

\[\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x - x_i)\cdots(x - x_{i+d})}.\]

When d = n - 1 this reduces to polynomial interpolation.

Due to its stability following barycentric representation of the above equation is used instead for computation

\[r(z) = \frac{\sum_{k=1}^m\ w_k f_k / (x - x_k)}{\sum_{k=1}^m w_k / (x - x_k)},\]

where the weights \(w_j\) are computed as

\[\begin{split}w_k &= (-1)^{k - d} \sum_{i \in J_k} \prod_{j = i, j \neq k}^{i + d} 1/|x_k - x_j|, \\ J_k &= \{ i \in I: k - d \leq i \leq k\},\\ I &= \{0, 1, \dots, n - d\}.\end{split}\]

參考文獻

[1]

M.S. Floater and K. Hormann, “Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation”, Numer. Math. 107, 315 (2007). DOI:10.1007/s00211-007-0093-y

範例

在您的瀏覽器中試試看！

在這裡，我們將此方法與多項式插值進行比較，以展示在 Runge 現象下多項式插值失敗的範例。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import (FloaterHormannInterpolator,
...                                BarycentricInterpolator)
>>> def f(z):
...     return 1/(1 + z**2)
>>> z = np.linspace(-5, 5, num=15)
>>> r = FloaterHormannInterpolator(z, f(z))
>>> p = BarycentricInterpolator(z, f(z))
>>> zz = np.linspace(-5, 5, num=1000)
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(zz, r(zz), label="Floater=Hormann")
>>> ax.plot(zz, p(zz), label="Polynomial")
>>> ax.legend()
>>> plt.show()

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屬性:

weights陣列 (array)

重心逼近的權重。

方法

__call__(z)	在給定值下評估有理逼近。
poles()	計算有理逼近的極點。
residues()	計算逼近極點的殘值。
roots()	計算有理逼近的零點。