scipy.integrate.

tplquad#

scipy.integrate.tplquad(func, a, b, gfun, hfun, qfun, rfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)[原始碼]#

計算三重（定積分）積分。

傳回 func(z, y, x) 從 x = a..b、y = gfun(x)..hfun(x) 和 z = qfun(x,y)..rfun(x,y) 的三重積分。

參數:

funcfunction: 至少三個變數的 Python 函數或方法，順序為 (z, y, x)。
a, bfloat: x 的積分極限：a < b
gfunfunction 或 float: y 中的下邊界曲線，它是一個接受單個浮點參數 (x) 並傳回浮點結果的函數，或是一個表示常數邊界曲線的 float。
hfunfunction 或 float: y 中的上邊界曲線（與 gfun 相同的要求）。
qfunfunction 或 float: z 中的下邊界曲面。它必須是一個接受兩個浮點數，順序為 (x, y) 並傳回一個 float 或一個表示常數邊界曲面的 float 的函數。
rfunfunction 或 float: z 中的上邊界曲面。（與 qfun 相同的要求。）
argstuple，選用: 要傳遞給 func 的額外參數。
epsabsfloat，選用: 直接傳遞到最內層一維正交積分的絕對容忍度。預設值為 1.49e-8。
epsrelfloat，選用: 最內層一維積分的相對容忍度。預設值為 1.49e-8。

傳回值:

yfloat: 結果積分值。
abserrfloat: 誤差的估計值。

另請參閱

quad: 使用 QUADPACK 的自適應正交積分
fixed_quad: 固定階高斯正交積分
dblquad: 二重積分
nquad: N 維積分
romb: 取樣資料的積分器
simpson: 取樣資料的積分器
scipy.special: 用於正交多項式的係數和根

註解

為了獲得有效結果，積分必須收斂；不保證發散積分的行為。

QUADPACK 層級常式的詳細資訊

quad 呼叫來自 FORTRAN 程式庫 QUADPACK 的常式。本節提供有關呼叫每個常式的條件以及每個常式的簡短描述。對於每個積分層級，有限極限使用 qagse，如果任一極限（或兩者！）是無限的，則使用 qagie。以下提供了來自 [1] 的每個常式的簡短描述。

qagse: 是一個基於全域自適應區間細分的積分器，結合外推法，它將消除幾種類型被積函數奇異點的影響。
qagie: 處理無限區間上的積分。無限範圍被映射到有限區間，然後應用與 QAGS 中相同的策略。

參考文獻

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

範例

計算 x * y * z 的三重積分，在 x 範圍從 1 到 2，y 範圍從 2 到 3，z 範圍從 0 到 1。也就是說，\(\int^{x=2}_{x=1} \int^{y=3}_{y=2} \int^{z=1}_{z=0} x y z \,dz \,dy \,dx\)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda z, y, x: x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 1, 2, 2, 3, 0, 1)
(1.8749999999999998, 3.3246447942574074e-14)

計算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=1-2x}_{y=0} \int^{z=1-x-2y}_{z=0} x y z \,dz \,dy \,dx\)。注意：qfun/rfun 接受順序為 (x, y) 的參數，即使 f 接受順序為 (z, y, x) 的參數。

>>> f = lambda z, y, x: x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, lambda x: 1-2*x, 0, lambda x, y: 1-x-2*y)
(0.05416666666666668, 2.1774196738157757e-14)

計算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} \int^{z=1}_{z=0} a x y z \,dz \,dy \,dx\)，其中 \(a=1, 3\)。

>>> f = lambda z, y, x, a: a*x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, 1, 0, 1, args=(1,))
    (0.125, 5.527033708952211e-15)
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, 1, 0, 1, args=(3,))
    (0.375, 1.6581101126856635e-14)

計算三維高斯積分，它是高斯函數 \(f(x,y,z) = e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的積分。也就是說，計算積分 \(\iiint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})} \,dz \,dy\,dx\)。

>>> f = lambda x, y, z: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2))
>>> integrate.tplquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (5.568327996830833, 4.4619078828029765e-08)