scipy.integrate.

dblquad#

scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)[source]#

計算二重積分。

傳回 func(y, x) 從 x = a..b 以及 y = gfun(x)..hfun(x) 的二重（定）積分。

參數:

func可呼叫物件: 一個 Python 函數或方法，至少需要兩個變數：y 必須是第一個參數，而 x 是第二個參數。
a, b浮點數: x 積分的上下限：a < b
gfun可呼叫物件或浮點數: y 的下邊界曲線，它是一個接受單一浮點數參數 (x) 並傳回浮點數結果的函數，或是一個表示常數邊界曲線的浮點數。
hfun可呼叫物件或浮點數: y 的上邊界曲線（與 gfun 相同的要求）。
args序列，選用: 要傳遞給 func 的額外參數。
epsabs浮點數，選用: 傳遞給內部一維正交積分的絕對容忍度。預設值為 1.49e-8。dblquad 嘗試獲得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精確度，其中 i = 從 gfun(x) 到 hfun(x) 的 func(y, x) 的內部積分，而 result 是數值近似值。請參閱下方的 epsrel。
epsrel浮點數，選用: 內部一維積分的相對容忍度。預設值為 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，則 epsrel 必須大於 5e-29 和 50 * (machine epsilon)。請參閱上方的 epsabs。

傳回值:

y浮點數: 結果積分值。
abserr浮點數: 誤差估計值。

另請參閱

quad: 單重積分
tplquad: 三重積分
nquad: N 維積分
fixed_quad: 固定階高斯正交
simpson: 取樣資料的積分器
romb: 取樣資料的積分器
scipy.special: 用於正交多項式的係數和根

說明

為了獲得有效的結果，積分必須收斂；不保證發散積分的行為。

QUADPACK 層級常式詳情

quad 呼叫 FORTRAN 程式庫 QUADPACK 中的常式。本節提供每個常式被呼叫的條件以及每個常式的簡短描述。對於每個積分層級，有限限值使用 qagse，如果任一（或兩個！）限值是無限的，則使用 qagie。以下提供來自 [1] 的每個常式的簡短描述。

qagse: 是一個基於全域自適應區間細分的積分器，結合外插法，將消除多種類型被積函數奇異點的影響。
qagie: 處理無限區間上的積分。無限範圍被映射到有限區間，然後應用與 QAGS 中相同的策略。

參考文獻

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

範例

計算在 x 範圍從 0 到 2，以及 y 範圍從 0 到 1 的方框上，x * y**2 的二重積分。也就是 \(\int^{x=2}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} x y^2 \,dy \,dx\)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda y, x: x*y**2
>>> integrate.dblquad(f, 0, 2, 0, 1)
    (0.6666666666666667, 7.401486830834377e-15)

計算 \(\int^{x=\pi/4}_{x=0} \int^{y=\cos(x)}_{y=\sin(x)} 1 \,dy \,dx\)。

>>> f = lambda y, x: 1
>>> integrate.dblquad(f, 0, np.pi/4, np.sin, np.cos)
    (0.41421356237309503, 1.1083280054755938e-14)

計算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=2-x}_{y=x} a x y \,dy \,dx\)，其中 \(a=1, 3\)。

>>> f = lambda y, x, a: a*x*y
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(1,))
    (0.33333333333333337, 5.551115123125783e-15)
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(3,))
    (0.9999999999999999, 1.6653345369377348e-14)

計算二維高斯積分，它是高斯函數 \(f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的積分。也就是計算積分 \(\iint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2})} \,dy\,dx\)。

>>> f = lambda x, y: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2))
>>> integrate.dblquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (3.141592653589777, 2.5173086737433208e-08)