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scipy.stats.Normal.

動差#

Normal.moment(order=1, kind='raw', *, method=None)[原始碼]#

正整數階的原始動差、中心動差或標準化動差。

以機率密度函數 \(f(x)\) 和支撐集 \(\chi\) 表示，隨機變數 \(X\) 的 \(n\) 階「原始」動差（關於原點）為

\[\mu'_n(X) = \int_{\chi} x^n f(x) dx\]

「中心」動差是關於平均值 \(\mu = \mu'_1\) 取的原始動差

\[\mu_n(X) = \int_{\chi} (x - \mu) ^n f(x) dx\]

「標準化」動差是中心動差除以標準差 \(\sigma = \sqrt{\mu_2}\) 的 \(n^\text{th}\) 次方，以產生尺度不變量

\[\tilde{\mu}_n(X) = \frac{\mu_n(X)} {\sigma^n}\]
參數:
orderint

動差的整數階數；即上述公式中的 \(n\)。

kind{‘raw’, ‘central’, ‘standardized’}

是否返回上述定義的原始（預設）、中心或標準化動差。

method{None, ‘formula’, ‘general’, ‘transform’, ‘normalize’, ‘quadrature’, ‘cache’}

用於評估動差的策略。預設情況下（None），基礎結構會在以下選項之間做出選擇，並按優先順序排列。

  • 'cache'：使用最近透過另一種方法計算出的動差值

  • 'formula'：使用動差本身的公式

  • 'general'：使用適用於所有具有有限動差的分佈的通用結果；例如，第零階原始動差恆為 1

  • 'transform'：將原始動差轉換為中心動差，反之亦然（請參閱註解）

  • 'normalize'：標準化中心動差以獲得標準化動差，反之亦然

  • 'quadrature'：根據定義進行數值積分

並非所有 method 選項都適用於所有階數、種類和分佈。如果選定的 method 不可用，則會引發 NotImplementedError。

返回:
outarray

指定階數和種類的隨機變數的動差。

另請參閱

pdf
mean
variance
standard_deviation
skewness
kurtosis

註解

並非所有分佈都具有所有階數的有限動差；某些階數的動差可能未定義或無限大。如果未針對所選分佈明確實作動差的公式，SciPy 將嘗試透過通用方法計算動差，這可能會產生有限的結果，即使實際上並不存在。這不是嚴重的錯誤，而是一個增強功能的機會。

摘要中原始動差的定義特定於關於原點的原始動差。關於任何點 \(a\) 的原始動差為

\[E[(X-a)^n] = \int_{\chi} (x-a)^n f(x) dx\]

在此表示法中，關於原點的原始動差為 \(\mu'_n = E[x^n]\)，中心動差為 \(\mu_n = E[(x-\mu)^n]\)，其中 \(\mu\) 是第一階原始動差；即平均值。

'transform' 方法利用關於不同點 \(a\) 和 \(b\) 取得的動差之間的以下關係。

\[E[(X-b)^n] = \sum_{i=0}^n E[(X-a)^i] {n \choose i} (a - b)^{n-i}\]

例如，要將原始動差轉換為中心動差，我們令 \(b = \mu\) 且 \(a = 0\)。

分佈基礎結構為分佈作者提供了彈性，可以實作任何階數的原始動差、中心動差和標準化動差的單獨公式。預設情況下，如果此類公式可用，則會從公式評估所需階數和種類的動差；如果沒有，基礎結構會使用任何可用的公式，而不是直接求助於數值積分。例如，如果前三個原始動差的公式可用，並且需要第三個標準化動差，則基礎結構將評估原始動差並執行所需的轉換和標準化。決策樹有點複雜，但是獲得給定階數和種類的動差的策略（可能是由於上述轉換公式的遞迴性質而作為中間步驟）大致遵循以下優先順序

  1. 使用快取（如果已計算出相同動差和種類的階數）

  2. 使用公式（如果可用）

  3. 在原始動差和中心動差之間轉換，和/或標準化以在中心動差和標準化動差之間轉換（如果有效率）

  4. 使用適用於大多數分佈的通用結果（如果可用）

  5. 使用積分

參考文獻

範例

實例化具有所需參數的分佈

>>> from scipy import stats
>>> X = stats.Normal(mu=1., sigma=2.)

評估第一階原始動差

>>> X.moment(order=1, kind='raw')
1.0
>>> X.moment(order=1, kind='raw') == X.mean() == X.mu
True

評估第二階中心動差

>>> X.moment(order=2, kind='central')
4.0
>>> X.moment(order=2, kind='central') == X.variance() == X.sigma**2
True

評估第四階標準化動差

>>> X.moment(order=4, kind='standardized')
3.0
>>> X.moment(order=4, kind='standardized') == X.kurtosis(convention='non-excess')
True
在本頁中