scipy.sparse.linalg.

tfqmr#

scipy.sparse.linalg.tfqmr(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None, show=False)[source]#

使用無轉置準最小殘差迭代法求解 Ax = b。

參數：

A{稀疏陣列, ndarray, LinearOperator}: 線性系統的實數或複數 N 乘 N 矩陣。或者，A 可以是一個線性算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 來產生 Ax。
b{ndarray}: 線性系統的右側。形狀為 (N,) 或 (N,1)。
x0{ndarray}: 解的起始猜測值。
rtol, atolfloat, optional: 收斂測試的參數。為了收斂，應滿足 norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。預設值為 rtol=1e-5，atol 的預設值為 0.0。
maxiterint, optional: 最大迭代次數。即使尚未達到指定的容忍度，迭代也會在 maxiter 步後停止。預設值為 min(10000, ndofs * 10)，其中 ndofs = A.shape[0]。
M{稀疏陣列, ndarray, LinearOperator}: A 的預處理器之逆。M 應近似於 A 的逆，並且易於求解（請參閱註記）。有效的預處理能顯著提高收斂速度，這表示達到給定的誤差容忍度所需的迭代次數更少。預設情況下，不使用預處理器。
callbackfunction, optional: 每次迭代後呼叫的使用者提供函數。它被呼叫為 callback(xk)，其中 xk 是目前的解向量。
showbool, optional: 指定 show = True 以顯示收斂，show = False 是關閉收斂的輸出。預設值為 False。

返回值：

xndarray

收斂的解。

infoint

提供收斂資訊

0 : 成功退出

>0 : 未達到容忍度的收斂，迭代次數

<0 : 非法輸入或崩潰

註記

無轉置 QMR 演算法衍生自 CGS 演算法。然而，與 CGS 不同的是，TFQMR 方法的收斂曲線通過計算殘差範數的準最小化來平滑。「殘差範數」的實作支援左預處理器，並且在收斂準則中計算的「殘差範數」實際上是實際殘差範數 ||b - Axk|| 的上限。

參考文獻

[1]

R. W. Freund, A Transpose-Free Quasi-Minimal Residual Algorithm for Non-Hermitian Linear Systems, SIAM J. Sci. Comput., 14(2), 470-482, 1993.

[2]

Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, Philadelphia, 2003.

[3]

C. T. Kelley, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, number 16 in Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1995.

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import tfqmr
>>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = tfqmr(A, b, atol=0.0)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True