scipy.linalg.

solve_discrete_are#

scipy.linalg.solve_discrete_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[原始碼]#

解離散時間代數Riccati方程式 (DARE)。

DARE 定義為

\[A^HXA - X - (A^HXB) (R + B^HXB)^{-1} (B^HXA) + Q = 0\]

解存在的限制為

所有在單位圓盤外的 \(A\) 特徵值應該是可控制的。

相關聯的辛鉛筆 (參見「註解」)，其特徵值應該充分遠離單位圓。

此外，如果 e 和 s 並非都精確地為 None，則廣義版本的 DARE

\[A^HXA - E^HXE - (A^HXB+S) (R+B^HXB)^{-1} (B^HXA+S^H) + Q = 0\]

被解出。當省略時，e 假設為單位矩陣，而 s 假設為零矩陣。

參數:

a(M, M) 類陣列: 方陣
b(M, N) 類陣列: 輸入
q(M, M) 類陣列: 輸入
r(N, N) 類陣列: 方陣
e(M, M) 類陣列，選用: 非奇異方陣
s(M, N) 類陣列，選用: 輸入
balanced布林值: 布林值，指示是否對資料執行平衡步驟。預設值設為 True。

回傳:

x(M, M) ndarray: 離散代數Riccati方程式的解。

引發:

LinAlgError: 對於鉛筆的穩定子空間無法被隔離的情況。詳情請參閱「註解」章節和參考文獻。

另請參閱

solve_continuous_are: 解連續代數Riccati方程式

註解

此方程式通過形成擴展的辛矩陣鉛筆來解出，如 [1] 中所述，\(H - \lambda J\) 由區塊矩陣給出

[  A   0   B ]             [ E   0   B ]
[ -Q  E^H -S ] - \lambda * [ 0  A^H  0 ]
[ S^H  0   R ]             [ 0 -B^H  0 ]

並使用 QZ 分解方法。

在此演算法中，失敗條件與乘積 \(U_2 U_1^{-1}\) 的對稱性和 \(U_1\) 的條件數有關。此處，\(U\) 是 2m 乘 m 的矩陣，其保存跨越穩定子空間的特徵向量，具有 2-m 列，並劃分為兩個 m 列的矩陣。詳情請參閱 [1] 和 [2]。

為了提高 QZ 分解的準確性，鉛筆會經過一個平衡步驟，其中 \(H\) 和 \(J\) 的行/列（在移除對角線項目後）的絕對值總和會按照 [3] 中給出的方法進行平衡。如果資料有小的數值雜訊，平衡可能會放大其影響，並且需要進行一些清理。

在版本 0.11.0 中新增。

參考文獻

[1] (1,2)

P. van Dooren , “求解 Riccati 方程式的廣義特徵值方法。”，《SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing》，第 2 卷第 2 期，DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub，“求解代數 Riccati 方程式的 Schur 方法。”，麻省理工學院。資訊與決策系統實驗室。LIDS-R ; 859。線上可取得：http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner，“哈密頓矩陣的辛平衡”，2001，《SIAM J. Sci. Comput.》，2001，第 22 卷第 5 期，DOI:10.1137/S1064827500367993

範例

給定 a、b、q 和 r，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg as la
>>> a = np.array([[0, 1], [0, -1]])
>>> b = np.array([[1, 0], [2, 1]])
>>> q = np.array([[-4, -4], [-4, 7]])
>>> r = np.array([[9, 3], [3, 1]])
>>> x = la.solve_discrete_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[-4., -4.],
       [-4.,  7.]])
>>> R = la.solve(r + b.T.dot(x).dot(b), b.T.dot(x).dot(a))
>>> np.allclose(a.T.dot(x).dot(a) - x - a.T.dot(x).dot(b).dot(R), -q)
True