scipy.linalg.

solve_continuous_are#

scipy.linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[source]#

解連續時間代數Riccati方程式 (CARE)。

CARE 的定義如下

\[X A + A^H X - X B R^{-1} B^H X + Q = 0\]

解存在的限制條件為

在右半平面的 \(A\) 所有特徵值都應是可控制的。

相關的漢米爾頓算符 (參見註解) 應具有充分遠離虛軸的特徵值。

此外，如果 e 或 s 並非完全 None，則會解廣義 CARE 版本

\[E^HXA + A^HXE - (E^HXB + S) R^{-1} (B^HXE + S^H) + Q = 0\]

當省略時，e 假設為單位矩陣，且 s 假設為零矩陣，其大小分別與 a 和 b 相容。

參數:

a(M, M) 類陣列: 方陣
b(M, N) 類陣列: 輸入
q(M, M) 類陣列: 輸入
r(N, N) 類陣列: 非奇異方陣
e(M, M) 類陣列，選用: 非奇異方陣
s(M, N) 類陣列，選用: 輸入
balancedbool，選用: 布林值，指示是否對資料執行平衡步驟。預設值設為 True。

返回:

x(M, M) ndarray: 連續時間代數Riccati方程式的解。

引發:

LinAlgError: 在無法隔離算符的穩定子空間的情況下。詳情請參閱註解章節和參考文獻。

另請參閱

solve_discrete_are: 解離散時間代數Riccati方程式

註解

此方程式透過形成擴展的漢米爾頓矩陣算符來求解，如 [1] 中所述，\(H - \lambda J\) 由區塊矩陣給出

[ A    0    B ]             [ E   0    0 ]
[-Q  -A^H  -S ] - \lambda * [ 0  E^H   0 ]
[ S^H B^H   R ]             [ 0   0    0 ]

並使用 QZ 分解方法。

在此演算法中，失敗條件與乘積 \(U_2 U_1^{-1}\) 的對稱性和 \(U_1\) 的條件數有關。此處，\(U\) 是 2m 乘 m 的矩陣，其保存跨越穩定子空間的特徵向量，具有 2-m 列，並劃分為兩個 m 列矩陣。有關更多詳細資訊，請參閱 [1] 和 [2]。

為了提高 QZ 分解的準確性，算符會經過平衡步驟，其中 \(H\) 和 \(J\) 條目的絕對值總和 (在移除總和的對角線條目後) 會依照 [3] 中給出的方法進行平衡。

在版本 0.11.0 中新增。

參考文獻

[1] (1,2)

P. van Dooren , “廣義特徵值方法求解Riccati方程式”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol.2(2), DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub, “求解代數Riccati方程式的Schur方法”, 麻省理工學院。資訊與決策系統實驗室。LIDS-R ; 859。線上提供：http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner, “漢米爾頓矩陣的辛平衡”, 2001, SIAM J. Sci. Comput., 2001, Vol.22(5), DOI:10.1137/S1064827500367993

範例

給定 a、b、q 和 r，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[4, 3], [-4.5, -3.5]])
>>> b = np.array([[1], [-1]])
>>> q = np.array([[9, 6], [6, 4.]])
>>> r = 1
>>> x = linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[ 21.72792206,  14.48528137],
       [ 14.48528137,   9.65685425]])
>>> np.allclose(a.T.dot(x) + x.dot(a)-x.dot(b).dot(b.T).dot(x), -q)
True