make_smoothing_spline#
- scipy.interpolate.make_smoothing_spline(x, y, w=None, lam=None)[source]#
使用
lam計算平滑三次樣條函數的（係數），以控制曲線的平滑程度及其與資料的接近程度之間的權衡。如果lam為 None，則使用 GCV 準則 [1] 尋找它。平滑樣條是作為正則化加權線性迴歸問題的解而找到的
\[\sum\limits_{i=1}^n w_i\lvert y_i - f(x_i) \rvert^2 + \lambda\int\limits_{x_1}^{x_n} (f^{(2)}(u))^2 d u\]其中 \(f\) 是樣條函數，\(w\) 是權重向量，而 \(\lambda\) 是正則化參數。
如果
lam為 None，我們使用 GCV 準則來尋找最佳正則化參數，否則我們使用給定的參數解決正則化加權線性迴歸問題。該參數以下列方式控制權衡：參數越大，函數變得越平滑。- 參數:
- xarray_like, shape (n,)
橫座標。n 必須至少為 5。
- yarray_like, shape (n,)
縱座標。n 必須至少為 5。
- warray_like, shape (n,), optional
權重向量。預設值為
np.ones_like(x)。- lamfloat, (\(\lambda \geq 0\)), optional
正則化參數。如果
lam為 None，則從 GCV 準則中找到它。預設值為 None。
- 回傳值:
- funcBSpline 物件。
一個可呼叫物件，表示 B-spline 基底中的樣條，作為使用 GCV 準則 [1] 平滑樣條問題的解（如果
lam為 None），否則使用給定的參數lam。
註解
此演算法是對 Woltring 在 FORTRAN [2] 中引入的演算法的淨室重新實作。由於授權問題，原始版本無法在 SciPy 原始碼中使用。重新實作的細節在此處討論（僅提供俄文版本）[4]。
如果權重向量
w為 None，我們假設所有點在權重方面是相等的，並且權重向量是 1 的向量。請注意，在加權殘差平方和中，權重未平方：\(\sum\limits_{i=1}^n w_i\lvert y_i - f(x_i) \rvert^2\)，而在
splrep中，總和是從平方權重建立的。在初始問題不適定的情況下（例如，乘積 \(X^T W X\)，其中 \(X\) 是設計矩陣不是正定矩陣），將引發 ValueError。
參考文獻
[1]G. Wahba, “Estimating the smoothing parameter” in Spline models for observational data, Philadelphia, Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990, pp. 45-65. DOI:10.1137/1.9781611970128
[2]H. J. Woltring, A Fortran package for generalized, cross-validatory spline smoothing and differentiation, Advances in Engineering Software, vol. 8, no. 2, pp. 104-113, 1986. DOI:10.1016/0141-1195(86)90098-7
[3]T. Hastie, J. Friedman, and R. Tisbshirani, “Smoothing Splines” in The elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and prediction, New York: Springer, 2017, pp. 241-249. DOI:10.1007/978-0-387-84858-7
[4]E. Zemlyanoy，“廣義交叉驗證平滑樣條”，理學士論文，2022 年。https://www.hse.ru/ba/am/students/diplomas/620910604（俄文）
範例
產生一些雜訊資料
>>> import numpy as np >>> np.random.seed(1234) >>> n = 200 >>> def func(x): ... return x**3 + x**2 * np.sin(4 * x) >>> x = np.sort(np.random.random_sample(n) * 4 - 2) >>> y = func(x) + np.random.normal(scale=1.5, size=n)
建立平滑樣條函數
>>> from scipy.interpolate import make_smoothing_spline >>> spl = make_smoothing_spline(x, y)
繪製兩者
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> grid = np.linspace(x[0], x[-1], 400) >>> plt.plot(grid, spl(grid), label='Spline') >>> plt.plot(grid, func(grid), label='Original function') >>> plt.scatter(x, y, marker='.') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
