scipy.stats.vonmises_fisher

scipy.stats.vonmises_fisher = <scipy.stats._multivariate.vonmises_fisher_gen object>

一個 von Mises-Fisher 變數。

mu 關鍵字指定平均方向向量。kappa 關鍵字指定集中參數。

參數:

muarray_like

分佈的平均方向。必須是範數為 1 的一維單位向量。

kappafloat

集中參數。必須為正數。

seed{None, int, np.random.RandomState, np.random.Generator}, optional

用於繪製隨機變數。如果 seed 為 None，則使用 RandomState 單例。如果 seed 為整數，則使用以 seed 為種子的新 RandomState 實例。如果 seed 已經是 RandomState 或 Generator 實例，則使用該物件。預設值為 None。

另請參閱

scipy.stats.vonmises

二維圓上的 Von-Mises Fisher 分佈

uniform_direction

超球體表面上的均勻分佈

筆記

von Mises-Fisher 分佈是單位超球體表面上的方向分佈。單位向量 \(\mathbf{x}\) 的機率密度函數為

\[f(\mathbf{x}) = \frac{\kappa^{d/2-1}}{(2\pi)^{d/2}I_{d/2-1}(\kappa)} \exp\left(\kappa \mathbf{\mu}^T\mathbf{x}\right),\]

其中 \(\mathbf{\mu}\) 是平均方向，\(\kappa\) 是集中參數，\(d\) 是維度，而 \(I\) 是第一類修正貝索函數。由於 \(\mu\) 代表方向，因此它必須是單位向量，或者換句話說，是超球體上的點：\(\mathbf{\mu}\in S^{d-1}\)。\(\kappa\) 是集中參數，這表示它必須為正數 (\(\kappa>0\))，並且分佈會隨著 \(\kappa\) 的增加而變得更窄。從這個意義上說，倒數值 \(1/\kappa\) 類似於常態分佈的變異數參數。

von Mises-Fisher 分佈通常用作球體上常態分佈的類比。直觀地說，對於單位向量，有用的距離度量由它們之間的角度 \(\alpha\) 給出。這正是 von Mises-Fisher 機率密度函數中純量積 \(\mathbf{\mu}^T\mathbf{x}=\cos(\alpha)\) 所描述的：平均方向 \(\mathbf{\mu}\) 和向量 \(\mathbf{x}\) 之間的角度。它們之間的角度越大，對於這個特定的平均方向 \(\mathbf{\mu}\)，觀察到 \(\mathbf{x}\) 的機率就越小。

在維度 2 和 3 中，專門的演算法用於快速取樣 [2]、[3]。對於維度 4 或更高，則使用 [4] 中描述的拒絕取樣演算法。此實作部分基於 geomstats 套件 [5]、[6]。

在 1.11 版本中新增。

參考文獻

[1]

Von Mises-Fisher 分佈，維基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises%E2%80%93Fisher_distribution

[2]

Mardia, K., and Jupp, P. 方向統計學。Wiley, 2000.

[3]

J. Wenzel. S2 上 von Mises Fisher 分佈的數值穩定取樣。https://www.mitsuba-renderer.org/~wenzel/files/vmf.pdf

[4]

Wood, A. von mises fisher 分佈的模擬。統計學通訊 - 模擬與計算 23, 1 (1994), 157-164. https://doi.org/10.1080/03610919408813161

[5]

geomstats, Github。MIT 授權條款。存取日期：2023 年 1 月 6 日。geomstats/geomstats

[6]

Miolane, N. et al. Geomstats：用於機器學習中黎曼幾何的 Python 套件。《機器學習研究期刊》21 (2020)。http://jmlr.org/papers/v21/19-027.html

範例

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機率密度視覺化

繪製三維機率密度，以顯示隨集中參數增加的變化。密度由 pdf 方法計算。

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.stats import vonmises_fisher
>>> from matplotlib.colors import Normalize
>>> n_grid = 100
>>> u = np.linspace(0, np.pi, n_grid)
>>> v = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_grid)
>>> u_grid, v_grid = np.meshgrid(u, v)
>>> vertices = np.stack([np.cos(v_grid) * np.sin(u_grid),
...                      np.sin(v_grid) * np.sin(u_grid),
...                      np.cos(u_grid)],
...                     axis=2)
>>> x = np.outer(np.cos(v), np.sin(u))
>>> y = np.outer(np.sin(v), np.sin(u))
>>> z = np.outer(np.ones_like(u), np.cos(u))
>>> def plot_vmf_density(ax, x, y, z, vertices, mu, kappa):
...     vmf = vonmises_fisher(mu, kappa)
...     pdf_values = vmf.pdf(vertices)
...     pdfnorm = Normalize(vmin=pdf_values.min(), vmax=pdf_values.max())
...     ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1,
...                     facecolors=plt.cm.viridis(pdfnorm(pdf_values)),
...                     linewidth=0)
...     ax.set_aspect('equal')
...     ax.view_init(azim=-130, elev=0)
...     ax.axis('off')
...     ax.set_title(rf"$\kappa={kappa}$")
>>> fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=3, figsize=(9, 4),
...                          subplot_kw={"projection": "3d"})
>>> left, middle, right = axes
>>> mu = np.array([-np.sqrt(0.5), -np.sqrt(0.5), 0])
>>> plot_vmf_density(left, x, y, z, vertices, mu, 5)
>>> plot_vmf_density(middle, x, y, z, vertices, mu, 20)
>>> plot_vmf_density(right, x, y, z, vertices, mu, 100)
>>> plt.subplots_adjust(top=1, bottom=0.0, left=0.0, right=1.0, wspace=0.)
>>> plt.show()

隨著集中參數增加，點會更緊密地聚集在平均方向周圍。

抽樣

使用 rvs 方法從分佈中抽取 5 個樣本，產生一個 5x3 陣列。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu = np.array([0, 0, 1])
>>> samples = vonmises_fisher(mu, 20).rvs(5, random_state=rng)
>>> samples
array([[ 0.3884594 , -0.32482588,  0.86231516],
       [ 0.00611366, -0.09878289,  0.99509023],
       [-0.04154772, -0.01637135,  0.99900239],
       [-0.14613735,  0.12553507,  0.98126695],
       [-0.04429884, -0.23474054,  0.97104814]])

這些樣本是球體 \(S^2\) 上的單位向量。為了驗證，讓我們計算它們的歐幾里得範數

>>> np.linalg.norm(samples, axis=1)
array([1., 1., 1., 1., 1.])

繪製從 von Mises-Fisher 分佈中抽取的 20 個觀測值，以顯示隨集中參數 \(\kappa\) 增加的變化。紅點突顯平均方向 \(\mu\)。

>>> def plot_vmf_samples(ax, x, y, z, mu, kappa):
...     vmf = vonmises_fisher(mu, kappa)
...     samples = vmf.rvs(20)
...     ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, linewidth=0,
...                     alpha=0.2)
...     ax.scatter(samples[:, 0], samples[:, 1], samples[:, 2], c='k', s=5)
...     ax.scatter(mu[0], mu[1], mu[2], c='r', s=30)
...     ax.set_aspect('equal')
...     ax.view_init(azim=-130, elev=0)
...     ax.axis('off')
...     ax.set_title(rf"$\kappa={kappa}$")
>>> mu = np.array([-np.sqrt(0.5), -np.sqrt(0.5), 0])
>>> fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=3,
...                          subplot_kw={"projection": "3d"},
...                          figsize=(9, 4))
>>> left, middle, right = axes
>>> plot_vmf_samples(left, x, y, z, mu, 5)
>>> plot_vmf_samples(middle, x, y, z, mu, 20)
>>> plot_vmf_samples(right, x, y, z, mu, 100)
>>> plt.subplots_adjust(top=1, bottom=0.0, left=0.0,
...                     right=1.0, wspace=0.)
>>> plt.show()

圖表顯示，隨著集中參數 \(\kappa\) 增加，產生的樣本更緊密地集中在平均方向周圍。

擬合分佈參數

可以使用 fit 方法將分佈擬合到資料，並傳回估計的參數。作為一個玩具範例，讓我們將分佈擬合到從已知的 von Mises-Fisher 分佈中抽取的樣本。

>>> mu, kappa = np.array([0, 0, 1]), 20
>>> samples = vonmises_fisher(mu, kappa).rvs(1000, random_state=rng)
>>> mu_fit, kappa_fit = vonmises_fisher.fit(samples)
>>> mu_fit, kappa_fit
(array([0.01126519, 0.01044501, 0.99988199]), 19.306398751730995)

我們看到估計的參數 mu_fit 和 kappa_fit 非常接近真實參數。

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方法

pdf(x, mu=None, kappa=1)	機率密度函數。
logpdf(x, mu=None, kappa=1)	機率密度函數的對數。
rvs(mu=None, kappa=1, size=1, random_state=None)	從 von Mises-Fisher 分佈中抽取隨機樣本。
entropy(mu=None, kappa=1)	計算 von Mises-Fisher 分佈的微分熵。
fit(data)	將 von Mises-Fisher 分佈擬合到資料。