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scipy.sparse.linalg.

LaplacianNd#

class scipy.sparse.linalg.LaplacianNd(*args, **kwargs)[source]#

網格拉普拉斯算符在 N 維度及其特徵值/特徵向量。

在 N 維度的均勻矩形網格上建構拉普拉斯算符，並輸出其特徵值和特徵向量。拉普拉斯算符 L 是方形、負定、實對稱陣列，其元素為帶符號的整數，其餘為零。

參數：
grid_shapetuple

長度為 N 的整數 tuple (對應於拉普拉斯算符的維度)，其中每個條目給出該維度的大小。拉普拉斯矩陣是大小為 np.prod(grid_shape) 的方形矩陣。

boundary_conditions{‘neumann’, ‘dirichlet’, ‘periodic’}, 選項性

網格邊界上的邊界條件類型。有效值為 'dirichlet' 或 'neumann' (預設) 或 'periodic'。

dtypedtype

陣列的數值類型。預設為 np.int8。

註解

與 MATLAB/Octave 實作 [1] 的 1-、2- 和 3-D 拉普拉斯算符相比，此程式碼允許任意 N-D 情況和無矩陣可調用選項，但目前僅限於純 Dirichlet、Neumann 或 Periodic 邊界條件。

矩形網格的圖 (scipy.sparse.csgraph.laplacian) 的拉普拉斯矩陣對應於具有 Neumann 條件的負拉普拉斯算符，即 boundary_conditions = 'neumann'。

對於形狀為 grid_shape 且網格步長大小為 h=1 的 N 維規則網格，離散拉普拉斯算符的所有特徵值和特徵向量都是解析已知的 [2]。

參考文獻

[2]

“二階導數的特徵值和特徵向量”，維基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors_of_the_second_derivative

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import LaplacianNd
>>> from scipy.sparse import diags, csgraph
>>> from scipy.linalg import eigvalsh

下面示範的一維拉普拉斯算符，用於具有 n=6 個網格點的規則網格上的純 Neumann 邊界條件，它正是無向線性圖的負圖拉普拉斯算符，該圖具有 n 個頂點，並使用著名的三對角矩陣表示的稀疏鄰接矩陣 G

>>> n = 6
>>> G = diags(np.ones(n - 1), 1, format='csr')
>>> Lf = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form='function')
>>> grid_shape = (n, )
>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='neumann')
>>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), -Lf(np.eye(n)))
True

由於拉普拉斯算符的所有矩陣元素都是整數，因此 'int8' 是儲存矩陣表示的預設 dtype。

>>> lap.tosparse()
<DIAgonal sparse array of dtype 'int8'
    with 16 stored elements (3 diagonals) and shape (6, 6)>
>>> lap.toarray()
array([[-1,  1,  0,  0,  0,  0],
       [ 1, -2,  1,  0,  0,  0],
       [ 0,  1, -2,  1,  0,  0],
       [ 0,  0,  1, -2,  1,  0],
       [ 0,  0,  0,  1, -2,  1],
       [ 0,  0,  0,  0,  1, -1]], dtype=int8)
>>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray())
True
>>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray())
True

可以計算任意數量的極端特徵值和/或特徵向量。

>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='periodic')
>>> lap.eigenvalues()
array([-4., -3., -3., -1., -1.,  0.])
>>> lap.eigenvalues()[-2:]
array([-1.,  0.])
>>> lap.eigenvalues(2)
array([-1.,  0.])
>>> lap.eigenvectors(1)
array([[0.40824829],
       [0.40824829],
       [0.40824829],
       [0.40824829],
       [0.40824829],
       [0.40824829]])
>>> lap.eigenvectors(2)
array([[ 0.5       ,  0.40824829],
       [ 0.        ,  0.40824829],
       [-0.5       ,  0.40824829],
       [-0.5       ,  0.40824829],
       [ 0.        ,  0.40824829],
       [ 0.5       ,  0.40824829]])
>>> lap.eigenvectors()
array([[ 0.40824829,  0.28867513,  0.28867513,  0.5       ,  0.5       ,
         0.40824829],
       [-0.40824829, -0.57735027, -0.57735027,  0.        ,  0.        ,
         0.40824829],
       [ 0.40824829,  0.28867513,  0.28867513, -0.5       , -0.5       ,
         0.40824829],
       [-0.40824829,  0.28867513,  0.28867513, -0.5       , -0.5       ,
         0.40824829],
       [ 0.40824829, -0.57735027, -0.57735027,  0.        ,  0.        ,
         0.40824829],
       [-0.40824829,  0.28867513,  0.28867513,  0.5       ,  0.5       ,
         0.40824829]])

二維拉普拉斯算符在規則網格上示範，其中 grid_shape = (2, 3)，每個維度中有點。

>>> grid_shape = (2, 3)
>>> n = np.prod(grid_shape)

網格點的編號如下

>>> np.arange(n).reshape(grid_shape + (-1,))
array([[[0],
        [1],
        [2]],

       [[3],
        [4],
        [5]]])

每個邊界條件 'dirichlet'、'periodic' 和 'neumann' 分別說明；使用 'dirichlet'

>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='dirichlet')
>>> lap.tosparse()
<Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8'
    with 20 stored elements and shape (6, 6)>
>>> lap.toarray()
array([[-4,  1,  0,  1,  0,  0],
       [ 1, -4,  1,  0,  1,  0],
       [ 0,  1, -4,  0,  0,  1],
       [ 1,  0,  0, -4,  1,  0],
       [ 0,  1,  0,  1, -4,  1],
       [ 0,  0,  1,  0,  1, -4]], dtype=int8)
>>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray())
True
>>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray())
True
>>> lap.eigenvalues()
array([-6.41421356, -5.        , -4.41421356, -3.58578644, -3.        ,
       -1.58578644])
>>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64))
>>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals)
True
>>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(),
...             lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues()))
True

使用 'periodic'

>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='periodic')
>>> lap.tosparse()
<Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8'
    with 24 stored elements and shape (6, 6)>
>>> lap.toarray()
    array([[-4,  1,  1,  2,  0,  0],
           [ 1, -4,  1,  0,  2,  0],
           [ 1,  1, -4,  0,  0,  2],
           [ 2,  0,  0, -4,  1,  1],
           [ 0,  2,  0,  1, -4,  1],
           [ 0,  0,  2,  1,  1, -4]], dtype=int8)
>>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray())
True
>>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray())
True
>>> lap.eigenvalues()
array([-7., -7., -4., -3., -3.,  0.])
>>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64))
>>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals)
True
>>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(),
...             lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues()))
True

使用 'neumann'

>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='neumann')
>>> lap.tosparse()
<Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8'
    with 20 stored elements and shape (6, 6)>
>>> lap.toarray()
array([[-2,  1,  0,  1,  0,  0],
       [ 1, -3,  1,  0,  1,  0],
       [ 0,  1, -2,  0,  0,  1],
       [ 1,  0,  0, -2,  1,  0],
       [ 0,  1,  0,  1, -3,  1],
       [ 0,  0,  1,  0,  1, -2]], dtype=int8)
>>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray())
True
>>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray())
True
>>> lap.eigenvalues()
array([-5., -3., -3., -2., -1.,  0.])
>>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64))
>>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals)
True
>>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(),
...             lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues()))
True
屬性：
H

厄米特伴隨。

T

轉置此線性算符。

方法

toarray()

從拉普拉斯資料建構密集陣列

tosparse()

從拉普拉斯資料建構稀疏陣列

eigenvalues(m=None)

建構一個 1D 陣列，其中包含 m 個拉普拉斯矩陣的最大 (絕對值最小) 特徵值，並按升序排列。

eigenvectors(m=None)

建構陣列，其列由 m 個特徵向量 (float) 組成，這些特徵向量對應於 m 個已排序的特徵值的 Nd 拉普拉斯算符。

.. versionadded:: 1.12.0
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