place_poles#
- scipy.signal.place_poles(A, B, poles, method='YT', rtol=0.001, maxiter=30)[source]#
計算 K 使得特徵值 (A - dot(B, K))=poles。
K 是增益矩陣，使得由線性系統
AX+BU描述的系統，其閉迴路極點，即特徵值A - B*K，將盡可能接近在 poles 中要求的極點。支援 SISO、MISO 和 MIMO 系統。
- 參數:
- A, Bndarray
線性系統
AX + BU的狀態空間表示。- polesarray_like
期望的實極點和/或複共軛極點。 只有在
method="YT"(預設) 的情況下才支援複數極點。- method: {‘YT’, ‘KNV0’}, 選項
選擇哪種方法來找到增益矩陣 K。選項之一：
‘YT’：Yang Tits
‘KNV0’：Kautsky、Nichols、Van Dooren 更新方法 0
請參閱「參考文獻」和「註解」以了解演算法的詳細資訊。
- rtol: float, 選項
在每次迭代後，
A - B*K的特徵向量的行列式會與其先前的值進行比較，當這兩個值之間的相對誤差低於 rtol 時，演算法會停止。預設值為 1e-3。- maxiter: int, 選項
計算增益矩陣的最大迭代次數。預設值為 30。
- 回傳值:
- full_state_feedbackBunch 物件
- full_state_feedback 由以下組成
- gain_matrix1-D ndarray
閉迴路矩陣 K，使得
A-BK的特徵值盡可能接近要求的極點。- computed_poles1-D ndarray
對應於
A-BK的極點，排序方式為先將實極點按遞增順序排列，然後將複共軛極點按字典順序排列。- requested_poles1-D ndarray
演算法要求放置的極點，以上述方式排序，它們可能與實際達成的結果不同。
- X2-D ndarray
轉移矩陣，例如
X * diag(poles) = (A - B*K)*X(請參閱「註解」)- rtolfloat
在
det(X)上達成的相對容忍度（請參閱「註解」）。如果可以解系統diag(poles) = (A - B*K)，則 rtol 將為 NaN；或者當最佳化演算法無法執行任何操作時（即當B.shape[1] == 1時），則為 0。- nb_iterint
收斂前執行的迭代次數。如果可以解系統
diag(poles) = (A - B*K)，則 nb_iter 將為 NaN；或者當最佳化演算法無法執行任何操作時（即當B.shape[1] == 1時），則為 0。
註解
Tits 和 Yang (YT), [2] 的論文是對原始 Kautsky et al. (KNV) 論文 [1] 的更新。 KNV 依賴秩 1 更新來找到轉移矩陣 X，使得
X * diag(poles) = (A - B*K)*X，而 YT 使用秩 2 更新。這平均產生更穩健的解決方案（請參閱 [2] pp 21-22），此外，YT 演算法支援複數極點，而 KNV 在其原始版本中則不支援。 此處僅實作 KNV 提出的更新方法 0，因此名稱為'KNV0'。擴展到複數極點的 KNV 用於 Matlab 的
place函數中，YT 由 Slicot 以非免費許可證發行，名稱為robpole。 目前尚不清楚且未記錄 KNV0 如何擴展到複數極點（Tits 和 Yang 在他們的論文第 14 頁中聲稱他們的方法不能用於將 KNV 擴展到複數極點），因此在此實作中只有 YT 支援它們。由於 MIMO 系統的極點放置問題的解決方案不是唯一的，因此兩種方法都從一個試探性的轉移矩陣開始，該矩陣以各種方式更改以增加其行列式。 兩種方法都已被證明可以收斂到穩定的解決方案，但是，根據初始轉移矩陣的選擇方式，它們將收斂到不同的解決方案，因此絕對不能保證使用
'KNV0'會產生類似於 Matlab 或任何其他這些演算法實作的結果。在大多數情況下，使用預設方法
'YT'應該沒問題； 提供'KNV0'只是因為在某些特定情況下'YT'需要它。 此外，當abs(det(X))用作穩健性指標時，'YT'平均比'KNV0'產生更穩健的結果。[2] 可在以下 URL 作為技術報告取得： https://hdl.handle.net/1903/5598
參考文獻
範例
一個簡單的範例，示範使用 KNV 和 YT 演算法進行實極點放置。 這是參考 KNV 出版物 ([1]) 第 4 節中的範例 1。
>>> import numpy as np >>> from scipy import signal >>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> A = np.array([[ 1.380, -0.2077, 6.715, -5.676 ], ... [-0.5814, -4.290, 0, 0.6750 ], ... [ 1.067, 4.273, -6.654, 5.893 ], ... [ 0.0480, 4.273, 1.343, -2.104 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 5.679 ], ... [ 1.136, 1.136 ], ... [ 0, 0, ], ... [-3.146, 0 ]]) >>> P = np.array([-0.2, -0.5, -5.0566, -8.6659])
現在使用 KNV 方法 0、預設 YT 方法以及 YT 方法（同時強制演算法執行 100 次迭代）計算 K，並在每次呼叫後列印一些結果。
>>> fsf1 = signal.place_poles(A, B, P, method='KNV0') >>> fsf1.gain_matrix array([[ 0.20071427, -0.96665799, 0.24066128, -0.10279785], [ 0.50587268, 0.57779091, 0.51795763, -0.41991442]])
>>> fsf2 = signal.place_poles(A, B, P) # uses YT method >>> fsf2.computed_poles array([-8.6659, -5.0566, -0.5 , -0.2 ])
>>> fsf3 = signal.place_poles(A, B, P, rtol=-1, maxiter=100) >>> fsf3.X array([[ 0.52072442+0.j, -0.08409372+0.j, -0.56847937+0.j, 0.74823657+0.j], [-0.04977751+0.j, -0.80872954+0.j, 0.13566234+0.j, -0.29322906+0.j], [-0.82266932+0.j, -0.19168026+0.j, -0.56348322+0.j, -0.43815060+0.j], [ 0.22267347+0.j, 0.54967577+0.j, -0.58387806+0.j, -0.40271926+0.j]])
X 的行列式的絕對值是檢查結果穩健性的良好指標，
'KNV0'和'YT'的目標都是最大化它。 以下是上述結果穩健性的比較>>> abs(np.linalg.det(fsf1.X)) < abs(np.linalg.det(fsf2.X)) True >>> abs(np.linalg.det(fsf2.X)) < abs(np.linalg.det(fsf3.X)) True
現在是一個關於複數極點的簡單範例
>>> A = np.array([[ 0, 7/3., 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 7/9. ], ... [ 0, 0, 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 0 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 0 ], ... [ 0, 0 ], ... [ 1, 0 ], ... [ 0, 1 ]]) >>> P = np.array([-3, -1, -2-1j, -2+1j]) / 3. >>> fsf = signal.place_poles(A, B, P, method='YT')
我們可以在複數平面上繪製期望的和計算的極點
>>> t = np.linspace(0, 2*np.pi, 401) >>> plt.plot(np.cos(t), np.sin(t), 'k--') # unit circle >>> plt.plot(fsf.requested_poles.real, fsf.requested_poles.imag, ... 'wo', label='Desired') >>> plt.plot(fsf.computed_poles.real, fsf.computed_poles.imag, 'bx', ... label='Placed') >>> plt.grid() >>> plt.axis('image') >>> plt.axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1]) >>> plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc=2, numpoints=1)
