scipy.linalg.

polar#

scipy.linalg.polar(a, side='right')[source]#

計算極分解。

傳回極分解的因子 [1] u 和 p，使得 a = up (如果 side 為 “right”) 或 a = pu (如果 side 為 “left”)，其中 p 是正半定矩陣。根據 a 的形狀，u 的行或列是正交的。當 a 是方陣時，u 是方陣的么正陣。當 a 不是方陣時，則計算「正規極分解」[2]。

參數:

a(m, n) 類陣列: 要分解的陣列。
side{‘left’, ‘right’}, 選用: 決定是否計算右極分解或左極分解。如果 side 為 “right”，則 a = up。如果 side 為 “left”，則 a = pu。預設為 “right”。

傳回值:

u(m, n) ndarray: 如果 a 是方陣，則 u 是么正陣。如果 m > n，則 a 的行是正交的；如果 m < n，則 u 的列是正交的。
pndarray: p 是 Hermitian 正半定矩陣。如果 a 是非奇異的，則 p 是正定矩陣。p 的形狀為 (n, n) 或 (m, m)，取決於 side 分別是 “right” 還是 “left”。

參考文獻

[1]

R. A. Horn 和 C. R. Johnson，“矩陣分析”，劍橋大學出版社，1985 年。

[2]

N. J. Higham，“矩陣函數：理論與計算”，SIAM，2008 年。

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import polar
>>> a = np.array([[1, -1], [2, 4]])
>>> u, p = polar(a)
>>> u
array([[ 0.85749293, -0.51449576],
       [ 0.51449576,  0.85749293]])
>>> p
array([[ 1.88648444,  1.2004901 ],
       [ 1.2004901 ,  3.94446746]])

一個非方陣範例，其中 m < n

>>> b = np.array([[0.5, 1, 2], [1.5, 3, 4]])
>>> u, p = polar(b)
>>> u
array([[-0.21196618, -0.42393237,  0.88054056],
       [ 0.39378971,  0.78757942,  0.4739708 ]])
>>> p
array([[ 0.48470147,  0.96940295,  1.15122648],
       [ 0.96940295,  1.9388059 ,  2.30245295],
       [ 1.15122648,  2.30245295,  3.65696431]])
>>> u.dot(p)   # Verify the decomposition.
array([[ 0.5,  1. ,  2. ],
       [ 1.5,  3. ,  4. ]])
>>> u.dot(u.T)   # The rows of u are orthonormal.
array([[  1.00000000e+00,  -2.07353665e-17],
       [ -2.07353665e-17,   1.00000000e+00]])

另一個非方陣範例，其中 m > n

>>> c = b.T
>>> u, p = polar(c)
>>> u
array([[-0.21196618,  0.39378971],
       [-0.42393237,  0.78757942],
       [ 0.88054056,  0.4739708 ]])
>>> p
array([[ 1.23116567,  1.93241587],
       [ 1.93241587,  4.84930602]])
>>> u.dot(p)   # Verify the decomposition.
array([[ 0.5,  1.5],
       [ 1. ,  3. ],
       [ 2. ,  4. ]])
>>> u.T.dot(u)  # The columns of u are orthonormal.
array([[  1.00000000e+00,  -1.26363763e-16],
       [ -1.26363763e-16,   1.00000000e+00]])