scipy.linalg.

norm#

scipy.linalg.norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)[source]#

矩陣或向量範數。

此函數能夠根據 ord 參數的值，返回八種不同的矩陣範數之一，或無限多種向量範數之一（如下所述）。對於秩不為 1 或 2 的張量，僅支援 ord=None。

參數:

aarray_like: 輸入陣列。如果 axis 為 None，則 a 必須為 1-D 或 2-D，除非 ord 為 None。如果 axis 和 ord 均為 None，則將返回 a.ravel 的 2-範數。
ord{int, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’, None}, optional: 範數的階數（請參閱 Notes 下的表格）。inf 表示 NumPy 的 inf 物件。
axis{int, 2-tuple of ints, None}, optional: 如果 axis 是整數，則它指定計算向量範數的 a 的軸。如果 axis 是 2 元組，則它指定保存 2-D 矩陣的軸，並計算這些矩陣的矩陣範數。如果 axis 為 None，則返回向量範數（當 a 為 1-D 時）或矩陣範數（當 a 為 2-D 時）。
keepdimsbool, optional: 如果將此設定為 True，則被標準化的軸將保留在結果中，作為大小為一的維度。使用此選項，結果將針對原始 a 正確廣播。
check_finitebool, optional: 是否檢查輸入矩陣是否僅包含有限數字。停用可能會提高效能，但如果輸入確實包含無限或 NaN，則可能會導致問題（崩潰、非終止）。

返回:

nfloat 或 ndarray: 矩陣或向量的範數。

註解

對於 ord <= 0 的值，嚴格來說，結果不是數學上的「範數」，但它可能仍然適用於各種數值目的。

可以計算以下範數

ord	矩陣的範數	向量的範數
None	弗羅貝尼烏斯範數	2-範數
‘fro’	弗羅貝尼烏斯範數	–
‘nuc’	核範數	–
inf	max(sum(abs(a), axis=1))	max(abs(a))
-inf	min(sum(abs(a), axis=1))	min(abs(a))
0	–	sum(a != 0)
1	max(sum(abs(a), axis=0))	如下
-1	min(sum(abs(a), axis=0))	如下
2	2-範數（最大奇異值）	如下
-2	最小奇異值	如下
其他	–	sum(abs(a)ord)(1./ord)

弗羅貝尼烏斯範數由 [1] 給出

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核範數是奇異值的總和。

弗羅貝尼烏斯範數和核範數階數僅針對矩陣定義。

參考文獻

[1]

G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, pg. 15

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import norm
>>> a = np.arange(9) - 4.0
>>> a
array([-4., -3., -2., -1.,  0.,  1.,  2.,  3.,  4.])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4., -3., -2.],
       [-1.,  0.,  1.],
       [ 2.,  3.,  4.]])

>>> norm(a)
7.745966692414834
>>> norm(b)
7.745966692414834
>>> norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> norm(a, np.inf)
4.0
>>> norm(b, np.inf)
9.0
>>> norm(a, -np.inf)
0.0
>>> norm(b, -np.inf)
2.0

>>> norm(a, 1)
20.0
>>> norm(b, 1)
7.0
>>> norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> norm(b, -1)
6.0
>>> norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> norm(a, -2)
0.0
>>> norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016
>>> norm(a, 3)
5.8480354764257312
>>> norm(a, -3)
0.0