scipy.linalg.

eigh#

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)[source]#

求解複數 Hermitian 或實數對稱矩陣的標準或廣義特徵值問題。

尋找陣列 a 的特徵值陣列 w 和（可選）特徵向量陣列 v，其中 b 是正定矩陣，使得對於每個特徵值 λ（w 的第 i 個條目）及其特徵向量 vi（v 的第 i 個列）滿足

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在標準問題中，b 假設為單位矩陣。

參數:

a(M, M) 類陣列

一個複數 Hermitian 或實數對稱矩陣，將計算其特徵值和特徵向量。

b(M, M) 類陣列，選用

一個複數 Hermitian 或實數對稱正定矩陣。如果省略，則假設為單位矩陣。

lowerbool，選用

決定相關陣列資料是否取自 a 和（如果適用）b 的下三角或上三角部分。（預設值：lower）

eigvals_onlybool，選用

是否僅計算特徵值，而不計算特徵向量。（預設值：兩者都計算）

subset_by_index可迭代物件，選用

如果提供，這個雙元素可迭代物件定義所需特徵值的起始和結束索引（升序且從 0 開始索引）。若要僅返回第二小到第五小的特徵值，則使用 [1, 4]。[n-3, n-1] 返回最大的三個。僅適用於 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驅動程式。條目會透過 int() 直接轉換為整數。

subset_by_value可迭代物件，選用

如果提供，這個雙元素可迭代物件定義半開區間 (a, b]，如果有的話，則僅返回這些值之間的特徵值。僅適用於 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驅動程式。對於無約束的端點，請使用 np.inf。

driverstr，選用

定義應使用哪個 LAPACK 驅動程式。有效選項包括標準問題的 “ev”、“evd”、“evr”、“evx”，以及廣義問題（其中 b 不是 None）的 “gv”、“gvd”、“gvx”。請參閱「注意事項」章節。標準問題的預設值為 “evr”。對於廣義問題，完整集合使用 “gvd”，而請求子集的情況使用 “gvx”。

typeint，選用

對於廣義問題，此關鍵字指定要為 w 和 v 解決的問題類型（僅接受 1、2、3 作為可能的輸入）

=>     a @ v = w @ b @ v
=> a @ b @ v = w @ v
=> b @ a @ v = w @ v

對於標準問題，此關鍵字會被忽略。

overwrite_abool，選用

是否覆寫 a 中的資料（可能會提高效能）。預設值為 False。

overwrite_bbool，選用

是否覆寫 b 中的資料（可能會提高效能）。預設值為 False。

check_finitebool，選用

是否檢查輸入矩陣是否僅包含有限數字。停用可能會提高效能，但如果輸入包含無限或 NaN，則可能會導致問題（崩潰、不終止）。

返回:

w(N,) ndarray: N 個（N<=M）選定的特徵值，按升序排列，每個特徵值根據其重數重複。
v(M, N) ndarray: 對應於特徵值 w[i] 的正規化特徵向量是列 v[:,i]。僅在 eigvals_only=False 時返回。

引發:

LinAlgError: 如果特徵值計算不收斂、發生錯誤，或 b 矩陣不是正定矩陣。請注意，如果輸入矩陣不是對稱或 Hermitian，則不會報告錯誤，但結果將是錯誤的。

另請參閱

eigvalsh: 對稱或 Hermitian 陣列的特徵值
eig: 非對稱陣列的特徵值和右特徵向量
eigh_tridiagonal: 對稱/Hermitian 三對角矩陣的特徵值和右特徵向量

注意事項

此函數不檢查輸入陣列是否為 Hermitian/對稱，以便允許僅使用其上/下三角部分表示陣列。另外，請注意，即使未考慮在內，有限性檢查也適用於整個陣列，並且不受 “lower” 關鍵字的影響。

此函數在所有可能的關鍵字組合中都使用 LAPACK 驅動程式進行計算，如果陣列是實數，則以 sy 為前綴，如果陣列是複數，則以 he 為前綴，例如，具有 “evr” 驅動程式的浮點陣列透過 “syevr” 求解，具有 “gvx” 驅動程式的複數陣列問題透過 “hegvx” 等求解。

簡要總結一下，最慢但最穩健的驅動程式是經典的 <sy/he>ev，它使用對稱 QR。<sy/he>evr 被視為最通用情況的最佳選擇。但是，在某些情況下，<sy/he>evd 的計算速度更快，但會犧牲更多的記憶體使用量。<sy/he>evx 雖然仍然比 <sy/he>ev 快，但通常比其他驅動程式執行得更差，除非對於大型陣列請求非常少的特徵值，儘管仍然沒有效能保證。

請注意，底層 LAPACK 演算法會因 eigvals_only 是 True 還是 False 而異 — 因此，特徵值可能會因是否請求特徵向量而異。差異通常為機器 epsilon 乘以最大特徵值的數量級，因此可能僅對於零或接近零的特徵值可見。

對於廣義問題，相對於給定的類型參數進行正規化

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

僅請求特徵值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

請求小於 10 的特徵值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

請求第二小的特徵值及其特徵向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)