scipy.fft.

dct#

scipy.fft.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, orthogonalize=None)[source]#

返回任意類型序列 x 的離散餘弦轉換。

參數:

xarray_like: 輸入陣列。
type{1, 2, 3, 4}, optional: DCT 的類型（請參閱 Notes）。預設類型為 2。
nint, optional: 轉換的長度。如果 n < x.shape[axis]，則會截斷 x。如果 n > x.shape[axis]，則會對 x 進行零填充。預設結果為 n = x.shape[axis]。
axisint, optional: 計算 dct 的軸；預設值為最後一個軸（即 axis=-1）。
norm{“backward”, “ortho”, “forward”}, optional: 正規化模式（請參閱 Notes）。預設值為 “backward”。
overwrite_xbool, optional: 如果為 True，則可以破壞 x 的內容；預設值為 False。
workersint, optional: 用於平行計算的最大工作進程數。如果為負數，則該值會從 os.cpu_count() 環繞。有關更多詳細資訊，請參閱 fft。
orthogonalizebool, optional: 是否使用正交化 DCT 變體（請參閱 Notes）。當 norm="ortho" 時，預設值為 True，否則為 False。

在 1.8.0 版本中新增。

返回:

yndarray of real: 轉換後的輸入陣列。

另請參閱

idct: 反 DCT

Notes

對於單維陣列 x，dct(x, norm='ortho') 等於 MATLAB dct(x)。

警告

對於 type in {1, 2, 3}，norm="ortho" 會破壞與直接傅立葉轉換的直接對應關係。若要恢復它，您必須指定 orthogonalize=False。

對於 norm="ortho"，dct 和 idct 在兩個方向上都按相同的整體因子縮放。依預設，轉換也會正交化，對於類型 1、2 和 3，這表示修改轉換定義以給出 DCT 矩陣的正交性（請參閱下文）。

對於 norm="backward"，dct 上沒有縮放，而 idct 按 1/N 縮放，其中 N 是 DCT 的「邏輯」大小。對於 norm="forward"，1/N 正規化會應用於正向 dct，而 idct 則未正規化。

理論上有 8 種 DCT 類型，SciPy 中僅實作了前 4 種。「The」DCT 通常指的是 DCT 類型 2，而「the」反 DCT 通常指的是 DCT 類型 3。

類型 I

DCT-I 有幾種定義；我們使用以下定義（對於 norm="backward"）

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果 orthogonalize=True，則 x[0] 和 x[N-1] 乘以縮放因子 \(\sqrt{2}\)，且 y[0] 和 y[N-1] 除以 \(\sqrt{2}\)。當與 norm="ortho" 結合使用時，這會使對應的係數矩陣成為正交矩陣 (O @ O.T = np.eye(N))。

注意

DCT-I 僅支援輸入大小 > 1。

類型 II

DCT-II 有幾種定義；我們使用以下定義（對於 norm="backward"）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 orthogonalize=True，則 y[0] 除以 \(\sqrt{2}\)，當與 norm="ortho" 結合使用時，這會使對應的係數矩陣成為正交矩陣 (O @ O.T = np.eye(N))。

類型 III

有幾種定義，我們使用以下定義（對於 norm="backward"）

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

如果 orthogonalize=True，則 x[0] 項乘以 \(\sqrt{2}\)，當與 norm="ortho" 結合使用時，這會使對應的係數矩陣成為正交矩陣 (O @ O.T = np.eye(N))。

（未正規化的）DCT-III 是（未正規化的）DCT-II 的反運算，最多相差一個因子 2N。正交化的 DCT-III 正好是正交化的 DCT-II 的反運算。

類型 IV

DCT-IV 有幾種定義；我們使用以下定義（對於 norm="backward"）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

orthogonalize 在此處沒有任何作用，因為 DCT-IV 矩陣在縮放因子 2N 內已經是正交的。

參考文獻

[1]

‘一維和二維快速餘弦轉換’，J. Makhoul 著，IEEE Transactions on acoustics, speech and signal processing vol. 28(1), pp. 27-34, DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351 (1980)。

[2]

維基百科，“離散餘弦轉換”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

範例

對於實數、偶數對稱的輸入，類型 1 DCT 等效於 FFT（但速度更快）。輸出也是實數且偶數對稱的。FFT 輸入的一半用於產生 FFT 輸出的一半

>>> from scipy.fft import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])