scipy.stats.dpareto_lognorm#

scipy.stats.dpareto_lognorm = <scipy.stats._continuous_distns.dpareto_lognorm_gen object>[原始碼]#

雙 Pareto 對數常態連續隨機變數。

作為 rv_continuous 類別的一個實例，dpareto_lognorm 物件繼承了它的一系列通用方法（完整列表請見下方），並以針對此特定分佈的詳細資訊完成它們。

筆記

dpareto_lognorm 的機率密度函數為

\[f(x, \mu, \sigma, \alpha, \beta) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta) x} \phi\left( \frac{\log x - \mu}{\sigma} \right) \left( R(y_1) + R(y_2) \right)\]

其中 \(R(t) = \frac{1 - \Phi(t)}{\phi(t)}\)、\(\phi\) 和 \(\Phi\) 分別是常態 PDF 和 CDF，\(y_1 = \alpha \sigma - \frac{\log x - \mu}{\sigma}\)，且 \(y_2 = \beta \sigma + \frac{\log x - \mu}{\sigma}\)，適用於實數 \(x\) 和 \(\mu\)、\(\sigma > 0\)、\(\alpha > 0\) 和 \(\beta > 0\) [1]。

dpareto_lognorm 接受 u 作為 \(\mu\) 的形狀參數、s 作為 \(\sigma\) 的形狀參數、a 作為 \(\alpha\) 的形狀參數，以及 b 作為 \(\beta\) 的形狀參數。

根據上述 PDF 分佈的隨機變數 \(X\) 可以表示為 \(X = U \frac{V_1}{V_2}\)，其中 \(U\)、\(V_1\) 和 \(V_2\) 是獨立的，\(U\) 是對數常態分佈，使得 \(\log U \sim N(\mu, \sigma^2)\)，且 \(V_1\) 和 \(V_2\) 分別遵循參數為 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的 Pareto 分佈 [2]。

上面的機率密度定義為「標準化」形式。若要平移和/或縮放分佈，請使用 loc 和 scale 參數。具體來說，dpareto_lognorm.pdf(x, u, s, a, b, loc, scale) 與 dpareto_lognorm.pdf(y, u, s, a, b) / scale 完全等效，其中 y = (x - loc) / scale。請注意，平移分佈的位置不會使其成為「非中心」分佈；某些分佈的非中心廣義化版本在單獨的類別中提供。

參考文獻

[1]

Hajargasht, Gholamreza, and William E. Griffiths. “Pareto-lognormal distributions: Inequality, poverty, and estimation from grouped income data.” Economic Modelling 33 (2013): 593-604.

[2]

Reed, William J., and Murray Jorgensen. “The double Pareto-lognormal distribution - a new parametric model for size distributions.” Communications in Statistics - Theory and Methods 33.8 (2004): 1733-1753.

範例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import dpareto_lognorm
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots(1, 1)

計算前四個動差

>>> u, s, a, b = 3, 1.2, 1.5, 2
>>> mean, var, skew, kurt = dpareto_lognorm.stats(u, s, a, b, moments='mvsk')

顯示機率密度函數 (pdf)

>>> x = np.linspace(dpareto_lognorm.ppf(0.01, u, s, a, b),
...                 dpareto_lognorm.ppf(0.99, u, s, a, b), 100)
>>> ax.plot(x, dpareto_lognorm.pdf(x, u, s, a, b),
...        'r-', lw=5, alpha=0.6, label='dpareto_lognorm pdf')

或者，可以呼叫分佈物件（作為函數）來固定形狀、位置和比例參數。這會傳回一個「凍結」的 RV 物件，其中保存了給定的固定參數。

凍結分佈並顯示凍結的 pdf

>>> rv = dpareto_lognorm(u, s, a, b)
>>> ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf')

檢查 cdf 和 ppf 的準確性

>>> vals = dpareto_lognorm.ppf([0.001, 0.5, 0.999], u, s, a, b)
>>> np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], dpareto_lognorm.cdf(vals, u, s, a, b))
True

產生隨機數字

>>> r = dpareto_lognorm.rvs(u, s, a, b, size=1000)

並比較直方圖

>>> ax.hist(r, density=True, bins='auto', histtype='stepfilled', alpha=0.2)
>>> ax.set_xlim([x[0], x[-1]])
>>> ax.legend(loc='best', frameon=False)
>>> plt.show()

../../_images/scipy-stats-dpareto_lognorm-1.png

方法

rvs(u, s, a, b, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)	隨機變量。
pdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	機率密度函數。
logpdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	機率密度函數的對數。
cdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	累積分布函數。
logcdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	累積分布函數的對數。
sf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	生存函數（也定義為 `1 - cdf`，但 sf 有時更準確）。
logsf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	生存函數的對數。
ppf(q, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	百分點函數（`cdf` 的反函數 — 百分位數）。
isf(q, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	反生存函數（`sf` 的反函數）。
moment(order, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	指定階數的非中心動差。
stats(u, s, a, b, loc=0, scale=1, moments=’mv’)	平均值 ('m')、變異數 ('v')、偏度 ('s') 和/或峰度 ('k')。
entropy(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	RV 的（微分）熵。
fit(data)	通用資料的參數估計。有關關鍵字引數的詳細文件，請參閱 scipy.stats.rv_continuous.fit。
expect(func, args=(u, s, a, b), loc=0, scale=1, lb=None, ub=None, conditional=False, kwds)**	函數（一個引數的函數）關於分佈的期望值。
median(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分佈的中位數。
mean(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分佈的平均值。
var(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分佈的變異數。
std(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分佈的標準差。
interval(confidence, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	在中間位數周圍具有相等面積的信賴區間。