scipy.optimize.elementwise.

find_minimum#

scipy.optimize.elementwise.find_minimum(f, init, /, *, args=(), tolerances=None, maxiter=100, callback=None)[原始碼]#

尋找實數變數的單峰實值函數的最小值。

對於 f 的輸出的每個元素，find_minimum 尋找最小化該元素的純量最小值。此函數目前使用 Chandrupatla 的括號極小化演算法 [1]，因此需要引數 init 提供一個三點極小化括號：x1 < x2 < x3 使得 func(x1) >= func(x2) <= func(x3)，其中一個不等式是嚴格的。

在提供有效括號的情況下，如果函數在括號內連續，則 find_minimum 保證收斂到滿足提供的 tolerances 的局部最小值。

當 init 和 args 包含（可廣播）陣列時，此函數會逐元素運作。

參數:

f可呼叫物件（callable）

想要最小化的函數。簽名必須是

f(x: array, *args) -> array

其中 x 的每個元素都是有限實數，而 args 是一個元組，可以包含任意數量的與 x 可廣播的陣列。

f 必須是逐元素函數：對於所有索引 i，每個元素 f(x)[i] 必須等於 f(x[i])。它不得改變陣列 x 或 args 中的陣列。

find_minimum 尋找一個陣列 x，使得 f(x) 是一個局部最小值陣列。

init3 元組的浮點數類陣列

標準純量極小化括號的橫座標。如果陣列 x1、 x2、 x3 = init 滿足 x1 < x2 < x3 且 func(x1) >= func(x2) <= func(x3)，則括號有效，其中一個不等式是嚴格的。陣列必須彼此之間以及與 args 的陣列可廣播。

args類陣列的元組，選用

要傳遞給 f 的額外位置陣列引數。陣列必須彼此之間以及與 init 的陣列可廣播。如果想要尋找根的可呼叫物件需要與 x 不可廣播的引數，請使用 f 包裝該可呼叫物件，使得 f 僅接受 x 和可廣播的 *args。

tolerances浮點數字典，選用

關於根和函數值的絕對和相對容差。字典的有效鍵為

xatol - 根的絕對容差
xrtol - 根的相對容差
fatol - 函數值的絕對容差
frtol - 函數值的相對容差

請參閱「註解」以瞭解預設值和明確的終止條件。

maxiter整數，預設值：100

要執行的演算法最大迭代次數。

callback可呼叫物件，選用

在第一次迭代之前和每次迭代之後要呼叫的選用使用者提供函數。呼叫方式為 callback(res)，其中 res 是一個 _RichResult，類似於 find_minimum 傳回的結果（但包含所有變數的目前迭代值）。如果 callback 引發 StopIteration，則演算法將立即終止，而 find_root 將傳回結果。callback 不得改變 res 或其屬性。

傳回值:

res_RichResult

一個類似於 scipy.optimize.OptimizeResult 實例的物件，具有以下屬性。描述的撰寫方式如同值將為純量；但是，如果 f 傳回陣列，則輸出將為相同形狀的陣列。

success布林陣列

True 如果演算法成功終止（狀態 0）；否則為 False。

status整數陣列

表示演算法結束狀態的整數。

0 : 演算法已收斂到指定的容差。
-1 : 演算法遇到無效的括號。
-2 : 已達到最大迭代次數。
-3 : 遇到非有限值。
-4 : 迭代被 callback 終止。
1 : 演算法正常進行中（僅在 callback 中）。

x浮點數陣列

如果演算法成功終止，則為函數的最小值。

f_x浮點數陣列

f 在 x 處評估的值。

nfev整數陣列

為了找到根，f 被評估的橫座標數量。這與 f 被呼叫的次數不同，因為函數可能在單次呼叫中在多個點進行評估。

nit整數陣列

已執行的演算法迭代次數。

bracket浮點數陣列元組

最終的三點括號。

f_bracket浮點數陣列元組

f 在括號點處評估的值。

另請參閱

bracket_minimum

註解

根據 Chandrupatla 的原始論文 [1] 實作。

如果 xl < xm < xr 是括號的點，而 fl >= fm <= fr （其中一個不等式是嚴格的）是在這些點評估的 f 的值，則當

xr - xl <= abs(xm)*xrtol + xatol 或
(fl - 2*fm + fr)/2 <= abs(fm)*frtol + fatol.

請注意，第一個條件與 [1] 中描述的終止條件不同。

xrtol 的預設值是適當 dtype 的精度的平方根，而 xatol = fatol = frtol 是適當 dtype 的最小正常數。

參考文獻

[1] (1,2,3)

Chandrupatla, Tirupathi R. (1998)。 “用於無導數最小化的有效二次擬合剖分演算法”。《應用力學與工程中的電腦方法》，152 (1-2), 211-217。 https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00190-4

範例

假設我們希望最小化以下函數。

>>> def f(x, c=1):
...     return (x - c)**2 + 2

首先，我們必須找到一個有效的括號。函數是單峰的，因此 bracket_minium 將很容易找到一個括號。

>>> from scipy.optimize import elementwise
>>> res_bracket = elementwise.bracket_minimum(f, 0)
>>> res_bracket.success
True
>>> res_bracket.bracket
(0.0, 0.5, 1.5)

實際上，括號點已排序，且中間括號點的函數值小於周圍點的函數值。

>>> xl, xm, xr = res_bracket.bracket
>>> fl, fm, fr = res_bracket.f_bracket
>>> (xl < xm < xr) and (fl > fm <= fr)
True

一旦我們有了有效的括號，就可以使用 find_minimum 來提供最小化器的估計值。

>>> res_minimum = elementwise.find_minimum(f, res_bracket.bracket)
>>> res_minimum.x
1.0000000149011612

函數值在括號內僅變化幾個 ULP，因此僅透過評估函數本身無法更精確地確定最小值（即，我們需要其導數才能做得更好）。

>>> import numpy as np
>>> fl, fm, fr = res_minimum.f_bracket
>>> (fl - fm) / np.spacing(fm), (fr - fm) / np.spacing(fm)
(0.0, 2.0)

因此，函數的精確最小值由下式給出

>>> res_minimum.f_x
2.0

bracket_minimum 和 find_minimum 接受大多數引數的陣列。例如，要一次找到參數 c 的幾個值的最小化器和最小值

>>> c = np.asarray([1, 1.5, 2])
>>> res_bracket = elementwise.bracket_minimum(f, 0, args=(c,))
>>> res_bracket.bracket
(array([0. , 0.5, 0.5]), array([0.5, 1.5, 1.5]), array([1.5, 2.5, 2.5]))
>>> res_minimum = elementwise.find_minimum(f, res_bracket.bracket, args=(c,))
>>> res_minimum.x
array([1.00000001, 1.5       , 2.        ])
>>> res_minimum.f_x
array([2., 2., 2.])