scipy.linalg.

pinv#

scipy.linalg.pinv(a, *, atol=None, rtol=None, return_rank=False, check_finite=True)[source]#

計算矩陣的 (Moore-Penrose) 偽反矩陣。

使用奇異值分解 U @ S @ V 的經濟模式計算矩陣的廣義反矩陣，並且僅選取與顯著奇異值相關聯的列/行。

如果 s 是 a 的最大奇異值，則顯著性截止值由 atol + rtol * s 確定。任何低於此值的奇異值都被認為是不顯著的。

參數:

a(M, N) 類陣列: 要計算偽反矩陣的矩陣。
atolfloat，可選: 絕對閾值項，預設值為 0。

在版本 1.7.0 中新增。
rtolfloat，可選: 相對閾值項，預設值為 max(M, N) * eps，其中 eps 是 a 資料類型的機器精度值。

在版本 1.7.0 中新增。
return_rankbool，可選: 如果為 True，則返回矩陣的有效秩。
check_finitebool，可選: 是否檢查輸入矩陣是否僅包含有限數字。停用可能會提高效能，但如果輸入包含無限或 NaN，可能會導致問題（崩潰、無法終止）。

返回:

B(N, M) ndarray: 矩陣 a 的偽反矩陣。
rankint: 矩陣的有效秩。如果 return_rank 為 True，則返回。

引發:

LinAlgError: 如果 SVD 計算不收斂。

另請參閱

pinvh: Hermitian 矩陣的 Moore-Penrose 偽反矩陣。

註解

如果 A 是可逆的，則 Moore-Penrose 偽反矩陣正好是 A 的反矩陣 [1]。如果 A 不可逆，則 Moore-Penrose 偽反矩陣計算 Ax = b 的 x 解，使得 ||Ax - b|| 最小化 [1]。

參考文獻

[1] (1,2,3)

Penrose, R. (1956). On best approximate solutions of linear matrix equations. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 52(1), 17-19. doi:10.1017/S0305004100030929

範例

給定一個 m x n 矩陣 A 和一個 n x m 矩陣 B，Moore-Penrose 條件如下

ABA = A ( B 是 A 的廣義反矩陣 ),
BAB = B ( A 是 B 的廣義反矩陣 ),
(AB)* = AB ( AB 是 Hermitian 矩陣 ),
(BA)* = BA ( BA 是 Hermitian 矩陣 ) [1]。

此處，A* 表示共軛轉置。 Moore-Penrose 偽反矩陣是一個唯一的 B，它滿足所有這四個條件，並且對於任何 A 都存在。請注意，與標準矩陣反矩陣不同，A 不必是方陣或具有線性獨立的列/行。

作為一個範例，我們可以計算一個隨機非方陣的 Moore-Penrose 偽反矩陣，並驗證它滿足這四個條件。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> A = rng.standard_normal((9, 6))
>>> B = linalg.pinv(A)
>>> np.allclose(A @ B @ A, A)  # Condition 1
True
>>> np.allclose(B @ A @ B, B)  # Condition 2
True
>>> np.allclose((A @ B).conj().T, A @ B)  # Condition 3
True
>>> np.allclose((B @ A).conj().T, B @ A)  # Condition 4
True